第一章 三角形的证明

※知识点1 全等三角形的判定及性质

判定定理简称

判定定理的内容

SSS三角形分别相等的两个三角形全等全等三角形对应边相等、对应角相等

SAS两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

ASA两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

AAS两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

※知识点2 等腰三角形的性质定理及推论

等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角

在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C

条件：边相等，即AB=AC

结论：角相等，即∠B=∠C

推论

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一

在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC

条件：等腰三角形中一直顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一

结论：该线也是其他两线

※等腰三角形中的相等线段：

1.等腰三角形两底角的平分线相等

2.等腰三角形两腰上的高相等

3.两腰上的中线相等

4.底边的中点到两腰的距离相等

※知识点3 等边三角形的性质定理

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度

解读

【要点提示】1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”

【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形

※知识点4 等腰三角形的判定定理

等腰三角形的判定定理

有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边

在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC

条件：角相等，即∠B=∠C

结论：边相等，即AB=AC

解读【注意】对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”

拓展

判定一个三角形是等腰三角形有两种方法

（1）利用等腰三角形；（2）利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”

※知识点5 反证法

反证法

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法

（1）假设命题的结论不成立

（2）从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果

（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定原命题正确

解读

【要点提示】（1）当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明

（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果