不需要相信上帝,但你要相信这本书,“匈牙利数学家保罗Erdős曾经说过。这本书只存在于理论中，包含了最重要定理的最优雅的证明。Erdős的授权提示数学家谁继续寻找的动机已经证明了定理的新证明。最受欢迎的一个是质数定理，它描述了质数的分布，这些质数的除数只有1和它们自己。尽管数学家永远不知道一个证明是否值得收录在这本书中，但雅克·阿达玛德(Jacques Hadamard)和查尔斯-让·德·拉瓦雷·普桑(Charles-Jean de la Vallee Poussin)在1896年首次独立证明了质数定理，这是两个强有力的竞争者。
那么这个定理到底说了什么呢?
质数定理提供了一种方法来近似小于或等于给定数n的素数的数量。这个值被称为(n)，其中的n是“质数计数函数”。例如，由于有4个小于或等于10的素数(2、3、5和7)，所以是，在前1,000个整数中，有168个素数，因此，正则(1,000)= 168，依此类推。注意，当我们考虑前10,100和1,000个整数时，质数的百分比从40%上升到25%，再上升到16.8%。这些例子表明，质数定理证实，质数密度在一个给定的数字或以下，随着数字的增大而减小。
但是，即使您有一个一直到1万亿的正整数有序列表，谁还会想通过手动计数来确定“倍数”(1,000,000,000,000)呢?质数定理提供了一条捷径。
该定理告诉我们，ln (n)“渐近地等于”nln(n)，其中ln是自然对数。(你可以把一个渐近等式看作一个近似等式，尽管从技术上讲，它不止于此。)举个例子，让我们估计一下质数的数量可以达到1万亿。您可以使用这个定理来了解其中大约有1,000,000,000,000ln(1,000,000,000,000)，这等于。四舍五入为整数时为36191,206,825。这个数字与实际答案37,607,912,018只差了4%。
使用渐近等式，当您将更大的数字代入公式时，准确性会提高。基本上，当你接近无穷大时它本身不是一个数字，但比任何数字都大定理中的近似等式接近一个实际的等式。尽管素数的实际数目总是等于一个整数，但在渐近等式的另一边，包含自然对数函数的分数可以等于实数线上的任何值。整数和实数之间的这种联系是违反直觉的。
这是令人震惊的事情，即使在数学家中也是如此。令人抓狂的是，质数定理的陈述并没有暗示为什么这些都是正确的。
这个定理从来不是关于这个定理的。它总是关于证明，”澳大利亚昆士兰科技大学的数学教授迈克尔·博德(Michael Bode)说。
Hadamard和de la Vallee Poussin的原始证明依靠的是复数分析——对虚数函数的研究——尽管它们很优雅，但有些人发现这并不令人满意，因为这个定理的陈述本身并不包含复数。然而，G.H. Hardy在1921年把质数定理的非分析证明的前景称为初等证明的可能性称为“极不可能的”，并声称如果有人能找到这样的证明，就需要“重写理论”。
和塞尔伯格(方面的Selberg)如此Erdős自己的挑战,1948年,他们每个新出版的独立的元素数定理的证明使用对数的性质。这些证明诱使其他数学家考虑类似的方法来解决数论猜想，这些猜想以前被认为对这样看似简单的方法来说太深奥了。随后出现了许多令人兴奋的结果，包括赫尔穆特·迈尔(Helmut Maier)在1985年提出的初等证明，证明了质数分布中出人意料的不规则性。
“这么多悬而未决的问题都是建立在质数定理的基础上的，”美国西北大学(Northwestern University)的数学家弗洛里安·里希特(Florian Richter)说。里希特在试图证明质数定理的一个意义深远的扩展时找到了他的证明。
随着时间的推移，数论学家帮助建立了一种文化，在这种文化中，数学家致力于证明和重新证明定理，不仅是为了验证陈述，也是为了提高他们证明定理的技能和他们对相关数学的理解。
这超出了质数定理。Paulo Ribenboim列出了质数无限的至少7种证明。Steven Kifowit和Terra Stamps鉴定了20个证明的调和系列，不等于一个有限的数字，Kifowit随后又进行了28次后续调查。布鲁斯·拉特纳列举了超过371种毕达哥拉斯定理的不同证明，包括欧几里得、列奥纳多·达·芬奇和时任俄亥俄州国会议员的美国总统詹姆斯·加菲尔德提供的一些珍贵证据。
这种反复证明事物的习惯现在已经根深蒂固，数学家们完全可以依赖它。汤姆·埃德加和安亚军指出，继1796年高斯的原始证明之后，已经有246个所谓的二次互反律的证明。他们绘制了一段时间以来的证据数量，推断出这个定理的第300个证据将在2050年左右出现。
堪萨斯州立大学(Kansas State University)的研究生索菲亚·雷斯塔德(Sophia Restad)说:“我喜欢对旧定理进行新的证明，就像我喜欢到我去过的地方走新路和走捷径一样。”这些新途径为数学家提供了一种智力活动的具象意义。
数学家们可能永远不会停止寻找新的、更有启发性的路径，从而得出质数定理和其他受人喜爱的定理。如果运气好的话，其中一些甚至值得写入这本书。
