5.裂项相消法

适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n 1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。

注意：余下的项具有如下的特点

1、余下的项前后的位置前后是对称的。

2、余下的项前后的正负性是相反的。

6.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值时命题成立；

（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k 1时命题也成立。

【例】

求证：

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

n(n 1)(n 2)(n 3) =

[n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

证明：

当n=1时，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假设命题在n=k时成立，于是：

1×2x3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

k(k 1)(k 2)(k 3) =

[k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

则当n=k 1时有：

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 ……

(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)=

1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 ……

k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1时原等式仍然成立，归纳得证