娃最近做题错的一道，给她讲一讲。

一看题目，其实这是一道伪装成运算题目的定义题。

首先，分子不能为零，所以X-3≠0，即为X≠3

在实数范围内，负数不能开平方根，因此X²-9≥0 同时X²-9≤0 两者同时满足，只能是X²-9=0，即为X= -3. 结合第一条，X=-3, 带入可解。

题目很简单，但是可能老师没有给你们讲得很透，因为这个涉及到数的定义的扩展。

一，分子不能为零

你们在小学的时候，可能就学过”零不能做除数“，因为从朴素的观点来看，一个数字除以零是没有意义的。实际上古人也是这么看的，所以但凡是零作为分子的这种运算就规避开，即为运算无意义，这个是人为定义的。

二,负数开平方没意义

这个是在你学习到目前阶段的数学定义。古人以前也是这么认为的，所以都会回避。而在解决三次方程问题时，发现在中间过程中，必须要有负数开平方的运算，而结果是正确的。错误的结果导致了正确的答案，这个在数学逻辑内是不能认可的，数学家才定义的虚数，将实数扩展到了复数概念上。因此只能说在实数范围内，负数开平方没有意义，但在复数范围内是可以的。

以上只是大概说明，实际上数的概念从朴素的认知，到后面用集合论严格规范，经历了漫长的发展过程。如下图：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/465481863

由上图可看到，数学家对数的概念不断扩展的历史。

首先是自然数，就是自然而然人就知道的数。而后有了零，零就代表啥也没有（其实不是，在数表达时，还个占位符）。欠账不还，人们就定义了负数。你考试老师给你判了-5分，就代表你不仅一道没答对，还签老师5分。哭晕了吧。自然数，零和负数统一就有了整数的概念。

有自然数，人们分烙饼做除法，就有了分数，分数代表一个数的一部分和整数的概念对立。

开始人们认为整数和分数就是所有全部的数了，而后一个数学家发现了有的数不能表示为分数形式。这是多么没有道理的事情，这位数学家还因此而丧命。所以，又区分出了无理数和有理数。有理数就是整数和分数，无理数就是就是死活不能表示为分数的数字，你们的定义叫做无限不循环小数（其实这个定义也不怎么严谨，你知道大概就好）。

而后，就是定义了负数开平方结果为虚数，看名字就知道，太”虚幻“了。虚数与实数对立，就扩展到了复数。

这还远远没完。数学家发现，有的数字不能作为有理系数多项式方程的根的数。这个比较抽线，比如 X 5=6. X² 2X 1=0。你都可以通过方程变换，把它写成X的表达式，即为X的解。这种数字叫做代数数。而有的数则不行，a=0.110001000000000000000001000…（a＝1/10^(1!)＋1/10^(2!)＋1/10^(3!)＋…）数学家刘维尔写下这个数，并且证明取这个a不可能满足任何整系数多项式方程。这种数就叫超越数，圆周率也是超越数。所以复数又可以分成代数数和超越数。

以上常规意义上的数，而随着数学进一步抽象就不再局限于”数“了，就有了群、域、环，向量，张量等等更抽象的概念。

总结一下：

1. 数的定义是随着数学发展而不断扩展的，可以了解一点数学发展的历史。
2. 数的运算是否有意义，必须要说明在什么定义之内；在不同的数集定义内，运算的是否有意义会改变。在方程，函数等运算前，必须先要明确定义范围，否则会出错，或者得出不同的答案。
3. 数的严谨定义是建立在集合基础之上的，因此这道题目严格来说，应该规定在实数范围之内。

告诉你几个符号：

N代表自然数集

Z代表整数集合

Q代表有理数集合

R代表实数集合

C代表复数集合

属于，数学符号为“∈”，表示元素和集合之间的关系。

X,Y ∈R, 就代表X、Y都是实数。

你学会了吗？