一．概念描述

现代数学：如果整数a能被自然数b整除，那么a叫作b的倍数，b叫作a的约数（也叫因数）；如果整数a不能被自然数b整除，就表示a不是b的倍数，或者b不是a的约数。

小学数学：小学数学教材中一般是这样阐述因数和倍数的概念的。2004年北京版教材第10册的第46页指出：如果数a能被数b整除，a就叫作b的倍数，b就叫作a的约数（也就是因数）。例如，15能被3整除，15是3的倍数，3是15的因数。2013年人教版教材五年级下册第12页指出：2x6=12，2和6是12因数，12是2和6的倍数。

二．概念解读

(1)因数和倍数的表达

因数和倍数表示的是一个数与另一个数的关系，它们是两个相互依存的概念，不能单独存在。因此，在叙述时，一定要说明哪个数是哪个数的因数或倍数，而不能说成某数是因数或倍数。例如对15÷3=5，应说15是3的倍数，3是15的因数；而不能说15是倍数，3是因数。

(2)求一个数的因数的方法

例如，18的因数有哪些？用乘法想：哪两个整数相乘的积是18？18=1×18，18=2×9......用除法想：18÷1=18，18÷2=9......

一个数的因数可以从1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它本身（如18的因数有1、2、3、6、9、18），也可以一对一对地找（如18的因数有1和18，2和9，3 和6）。

(3)求一个数的倍数的方法

例如，你能找出多少个2的倍数？从2的1倍找起，接着2的2倍、3倍……也可以这样想：2x1=2，2x2=4，2×3=6…...

学生会发现，一直这样找下去是找不完的，说明2的倍数有无数个。

(4) 一个数的因数和倍数的特点

一个数的最小的因数是1，最大的因数是它本身，它的因数的个数是有限的。

一个数的最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，它的倍数的个数是无限的。

(5)有趣的数

①完全数，又叫完美数。

—个自然数的所有真因数之和等于它本身，这样的自然数叫完全数。

真因数即除了本身以外的所有正因数。例如，6的因数有：1、2、3、6。除去它本身6之外，剩下的1、2、3这三个因数都是6的真因数。把这三个真因数加起来---1 2 3=6，它们的和正好等于它本身，所以6就是一个完全数。

再如28，把它所有的真因数加起来---1 2 4 7 14= 28，它们的和也正好等于它本身，所以28也是一个完全数。

前十个完全数是：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128 (4位)

33550336（8位）

8589869056 (10位)

137438691328（12位）

2305843008139952128(19位)

2658455991569831744654692615953842176( 37位)

191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (54位)

最早研究完全数的是古希腊数学家毕达哥拉斯。完全数自从诞生后，就一直吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。目前已发现47个完全数，都是偶数，尾数是6或8，于是人们又在猜测会不会有奇完全数存在呢？

完全数还有许多有趣的性质：

a.每个完全数都能写成连续自然数之和(三角形数)。

例如：6=1 2 3

28= 1 2 3 4 5 6 7

496= 1 2 3 ... 30 31

b.每个完全数它们的全部因数的倒数之和都等于2，因此每个完全数又都可以叫做调和数。

例如：1/1 1/2 1/3 1/6 =2

1/1 1/2 1/4 1/7 1/14 1/28 = 2

c.除6以外的每个完全数各位数字相加直到变成一位数，这个一位数一定是1。这也可以看作：除6以外的完全数，被9除都余1。

例如：28---2 8=10, 1 0=1

496----4 9 6=19, 1 9=10, 1 0=1

②亏数和盈数。

对于“4”这个数，它的真因数有1、2，它们的和是3，比4本身小，像这样的自然数叫作亏数。

对于“12”这个数，它的真因数有l、2、3、4、6．它们的和是16，比12本身大，像这样的自然数叫作盈数。

所以，完全数就是既不盈余、也不亏欠的自然数。

③相亲数，又称亲和数、友爱数。

两个正整数中，彼此的全部真因数之和与另一方相等。

例如220与284，220的全部真因数相加的和是：1 2 4 5 10 1 1 20 22 44 55 110= 284。284的全部真因数相加的和是：1 2 4 71 142= 220。

所以，220与284是一对亲和数。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，是人类认识的第一对亲和数，也是最小的一对。现在，人们找到的亲和数已经超过了1200多对。

人们发现的前十对亲和数为：220与284, 1184与1210，2620与2924, 5020与5564, 6232与6368, 10744与10856, 12285与14595,17296与18416, 63020与76084, 66928与66992。

人们还研究了友好数链：这是一连串自然数，其中每—个数的真因数之和都等于下一个数，最后一个数的真因数之和等于第一个数。如12496, 14288, 15472, 14536, 14264。

其中，最长的链竞包含了28个数：14316, 19116, 31704, 47616,83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904,366556. 274924, 275444, 243760, 376736, 318028, 285778, 152990,122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716。

三．教学建议

(1)注意弄清乘法算式中的“因数”与本单元中的“因数”的联系与区别

在同一乘法算式中，乘号两边的数叫作因数，这是相对于“积”而言的。此时的因数和积可以是整数，也可以是小数、分数。本单元中的因数，是相对于“倍数”而言的，因数和倍数具有整除的关系，所以因数和倍数都只能是整数。

(2)注意弄清“倍数”与“倍”的联系与区别

“倍”的概念的外延比“倍数”要广，比如对12÷3=4，1.2÷0.3=4．我们在用“倍”表述时可以说：12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。而用“倍数”表述时只能说：12是3的倍数，而不能说1.2是0.3的倍数，因为只有在整除的情况下才有因数与倍数的关系。

(3)引导学生自主探究找一个数的因数和倍数的方法

一个数的因数有哪些？倍数有哪些？教师可以放手让学生先尝试去找。学生初次去找有可能找不全，当出现问题后学生反而会去思考：用什么方法去找？从几找起？这样可以使学生在活动体验中逐步感悟出找一个数的因数和倍数的方法，并逐步感悟出一个数的因数和倍数各有什么特点。

(4)注意渗透集合思想

教师可以借助集合圈表示出一个数的因数或倍数，使学生更好地感受到一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的；同时为后面用交集形式表示两个数的公因数和公倍数打下基础。

四．推荐阅读

(1)《小学数学知识树》 (刘开云、李燕燕，北京大学出版社，2008)

该书第一部分《数与运算》的第二章《数的整除》中介绍了与因数和倍数相关的知识。

(2)《对“因数与倍数”教学内容的再思考》（丁国忠，《小学数学》，2008年第2期）

该文分析了这部分内容中相关概念之间的紧密联系以及本部分内容的学习对后续数学学习的重要意义，对因数和倍数在中小学阶段的重要功能进行了深入思考。