一、基本知识原理

设一元二次方程ax2 bx c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有

根与系数的关系：x1 x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；

根与方程的关系：ax12 bx1 c=0 ，ax22 bx2 c=0 。

数学

二、解题方法与策略

对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解

例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2 2b﹣3的值等于　 　

解：由题意可知：a2﹣2a＝2020， （对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）

由根与系数的关系可知：a b＝2， （根据方程求出两个根的和）

∴原式＝a2﹣2a 2a 2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）

＝2020 2（a b）﹣3

＝2020 2×2﹣3＝2021

例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 .

例4、已知关于x的方程x2-4x k-1=0的两根之差等于6，那么k　 　．

解：设方程的两根为a、b，

∴a b=4 , ab = k-1

（a﹣b）2＝（a b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36

解得：k=-4

例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x 1=0的两个实数根，则代数式

2017m2 2018n2-2018n-2017×20182 的值为（ ）

解：由已知得m n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）

m2 n2 =(m n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）

∴2017m2 2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）

= 2017(m2 n2) n2 -2018n-2017×20182

= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182

= -4035

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