圆球的表面积公式很好记，是4πr²，即是其半径构成的圆的面积的4倍，或者说是其内含圆面积的4倍。因为4恰好是2的平方，而2r恰好是直径D，所以也可以写成是πD²。是不是很熟悉？也就是说，半径为r的球体的表面积，与半径为2r的圆的面积相等。

圆球的体积公式在西方也是首先由阿基米德推导出来的。但是他是先使用了杠杆原理去“验证”，然后使用数学方法去推导。这种方法看上去不可思议，其实很实用。

他使用了如下的杠杆。

右边绿色为底圆半径为2r，高为2r的圆柱，离支点距离为r。左边距离2r处为悬挂在一起的圆锥体和球体。圆锥体的底圆半径为2r，高为2r。球体半径为r。

按已知的公式可知，圆锥的体积为圆柱的1/3，球体体积为圆柱的1/6，显然这个杠杆系统是平衡的。

其实，我对他这个东西真不以为然，因为它是否平衡需要靠“观察可知”。然而，这看上去不可靠的“观察”，让他确信了自己的判断，从而使用严格的数学逻辑去证明。这大概也可以说是“大胆猜测，小心求证吧。”

阿基米德当然不会凭观察就确信的，他进行了证明。下面是节选自一篇论文。

推导球体体积（一）

推导球体体积（二）

读完之后，我真的对阿基米德的四大数学家之首的称号佩服得五体投地。

圆球的体积公式是V=(4/3)πr³，也可以记成是“表面积与半径的积的1/3”，即（1/3）πD²r，这是一个圆柱体，高度为r，底圆半径为2r。

设一个底圆半径为r，高度为2r的圆柱，显然这个圆柱恰好与半径为r的圆球内切。圆柱的体积是2πr³，与球的体积比为：3/2。

阿基米德十分喜欢这一结论，将其刻在了自己的墓碑上。如下：

中国古代学者到祖冲之的儿子祖暅（gèng）的时候，使用他得到的“幂势既同，则积不容异”的祖暅原理，通过推导得到了球体公式。意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)再次发现这一原理，已经比祖暅晚了1000年。这可与其父祖冲之的圆周率七位精确值和密率的发现相媲美。

只不过，相较于公元前287年—公元前212年在世的阿基米德，只能依靠其父429年-500年的在世时间来推测祖暅的大体在世时间，估计在450-520年之间。他获得球体积公式，比阿基米德晚了700年。而这一点，在中国，很少有谁愿意讲到。