今天分享一道函数题，题目如下：

第一小题很简单，在 x = 1 处有极值 10，一句话里有两个条件，即导数值为零，函数值为 10 ，这样就可以列出方程，解出 a 和 b 的值。

过程很简单，但是我们需要验证一下结果，可以得出有一个解不满足条件。这里为什么需要验证呢？因为我们列的方程中，令极值点的导数为零，这毋庸置疑，但是反过来这句话是不对的，即导数值为零的点不一定是极值点，而解出的答案中恰有一种这种情况，所以需要舍去。

第二小题第一问，我们可以画出函数图像，通过数形结合的方法判断怎样保证函数在区间内有三个不相等的解，首先，函数存在两个极值点，即 b > 0 ；然后在 -4 处的函数值小于等于零，在 4 处的函数值大于等于零；再然后，极值点在区间内，在两个极值点处一个大于零，一个小于零。这样就能保证函数在区间内有三个零点（想一下为什么？能不能去掉某个或某几个条件）

这种解法并不难，但是一定要把约束条件写全，并且不能人为添加约束（想当然的列约束），否则得到的范围就不对了。

通过前几篇文章的讲解，我们很自然想到另外一种解法——分离参数。分离参数的过程中，首先就需要判断 x = 0 是不是零点，然后再将 x 除过去，我们通过求导算出函数的单调区间，然后画出函数的图形，得到使方程有 3 个解的取值范围，过程如下：

这种方法也不难，但一点要注意，在 x = 0 处是一个间断点，需要分段来讨论，否则得不到答案。

第二问同样讨论不同情况下，函数在区间内的单调性，然后根据单调性来确定函数的最小值，最小值大于等于零即表示函数在区间内恒大于等于零。

首先求出导数，当 b 小于等于零时，函数在整个定义域为增函数，此时只需保证左端点处函数值大于等于零即可。

当函数存在极值点（右极值点），但极值点在区间左边，此时同样有函数在区间内单调递增，保证左端点处函数值大于等于零即可。

当极值点在区间右侧，此时，函数在区间内单调递减，保证右端点函数值大于等于零即可。

当极值点在区间内，在函数在区间内先递减再递增，极值点处取最小值，保证这个值大于等于零即可。

具体过程如下：

同样可以用分离参数的方法，但是 x - 2 在区间内可能大于零，等于零和小于零，所以分情况讨论，当 x = 2 时，无论 b 取何值，不等式恒成立。

当 x < 2 时，不等式需要变号，b 大于等于区间的最大值即可

当 x > 2 时，b 小于等于区间最小值即可

通过求函数的导数，可以判断出函数在前一个区间内单调递减，函数在 1 处取最大值。

同理函数在后一个区间内先递减再递增，在 3 处取最小值。

同样可以得出 b 的范围。

这道题不是很难，但不注意容易出错。

函数在极值点处导数（可导的话）值为零，但导数值为零不一定是极值点，所以得到答案后需要验证。通过数形结合的方法列不等式的时候，要注意条件一定要全，也不要新增条件（看看是不是满足这些条件一定有3个解，反过来有 3 个解是不是都满足这些条件，两者缺一不可）。当函数在区间内有间断点（没有定义的点）时，在画图形时注意分段讨论，不然得出的结果很有可能是错的。在不等式分参时，一定要注意不等式变号的问题，这是和等式求解最大的区别。这道题整体来说并不难，无论我们用哪种方法，只要逻辑没有问题，结果肯定是正确的，这也是数学的魅力所在。

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