一．概念描述

现代数学：公因数亦称公约数，是初等数论的基本概念之一，指能同时整除几个整数的数。设a1,a2...an是n个整数（n≥2），如果正整数d是它们中每一个数的因数，即d|ai(i=1,2,...,n)的因数，那么d就称为a1,a2...an的公因数。因为任一个ai(i=1,2,...,n)的因数只有有限个，所以a1,a2...an的公因数也只有有限个。

小学数学：小学数学教材中没有明确给出公因数的定义，重点是结合生活情境，帮助学生理解公因数的现实意义，并通过“分别列举出两个正整数的所有因数，再找出它们公有的因数”的形式，引导学生结合具体实例体会公因数是指一组正整数公有的因数。（小学阶段在正整数范围内研究，不包括0。）

二．概念解读

现代数学对于公因数是以字母表达式的形式进行描述的。其定义所表达的意思是：在两个或两个以上的整数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫作它们的公因数。

公因数的上位概念是因数。因为一个正整数最小的因数是1，最大的因数是它本身，所以一个正整数的因数的个数是有限的。由此得知一组正整数的公因数的个数也必然是有限个。又因为每个正整数的因数中都有1这个因数，所以1是所有正整数的公因数。

公因数又是学习最大公因数的基础。一组正整数的公因数中最大的一个是它们的最大公因数。这几个正整数的公因数都是最大公因数的因数。例如30和42，它们的公因数有2和3，最大公因数是6（所有公因数的乘积）。所以，公因数2和3都是它们最大公因数6的因数。

公因数与约分也有着密切的联系。把一个分数化简成最简分数时，需要进行约分。在约分的过程中，往往不能一次就将其化简成最简分数，每一次约分都是用这个分数分子、分母的公因数去除，直到公因数是1（两数互质）为止。

三．教学建议

(1)在具体的生活情境中，理解公因数的现实意义

现实生活情境和实例与学生的实际生活经验密切相连，它们不仅能够为学生提供真实自然的数的感悟空间，也能让学生在数的认知上经历由具体到抽象的过程。教学时，如果让学生完全抛开实际情境学习公因数，直接利用已有的知识，先找到几个数各自的因数,再发现它们的公因数，也能初步理解公因数的概念。但是这样，学生会更多地不明白其现实意义，遇到需要用公因数解决的实际问题，就会无从下手。因此，结合具体生活情境学习公因数，理解公因数的现实意义十分重要。李冉老师在教学时创设了为贮藏室铺地砖的生活情境：贮藏室长16dm。、宽12dm，如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使

用的地砖都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？学生通过画图和用正方形纸摆一摆的操作活动，得出了可以选用边长是1dm，2dm，4dm的地砖。而1、2、4正是16和12的公因数。学生在解决问题的过程中，由实际生活抽象出了数学概念，使其深刻地理解了公因数的现实意义。

(2)利用集合思想学习找两个数公因数的方法

小学数学教材中学习公因数，都是在理解其现实意义的同时，学习找两个数的公因数的方法。上面提到的李冉老师也是这样进行教学的。李老师引导学生利用已有知识分别找出16和12的全部因数，填在两个独立的集合圈中（如图1）。学生通过观察能够发现1、2、4是这两个数公有的因数。李老师继续引导学生，怎样表示让人一眼就能看出这两个数的公因数呢？这时学生们想到了用韦恩图来表示（如图2），两个数的公因数便以交集的形式呈现。在这里，集合图能够使学生更加直观地理解公因数的含义，同时也获得了找两个数公因数的方法。学生在这个过程中逐步建立了公因数的表象，感受到了公因数的本质属性。2011版 《课标》在课程内容第二学段对“数与代数”的要求中指出：“在1-100的自然数中，能找出两个自然数的公因数。”因此，教师在让学生找两个数公因数时，一定要把握数的大小不能超过100的教学要求。

四．推荐阅读

《小学数学研究》（张莫宙等，高等教育出版社，2009）

该书的第三章第二节对公因数进行了非常详细的论述。