第二十四章 圆

第六节 正多边形和圆

【学习目标】

1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；

2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；

3.会进行正多边形的有关计算.

【要点梳理】

要点一、正多边形的概念

　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

要点诠释：

　　判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

要点二、正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

2.正多边形的有关概念

　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

3.正多边形的有关计算

　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；

　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；

　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是.

要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

要点三、正多边形的性质

　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.

　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点诠释：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.

要点四、正多边形的画法

1.用量角器等分圆

　　由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.

2.用尺规等分圆

　　对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.

　　在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.

　　通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.　显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.

　　同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….

要点诠释：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.