01生活中的√2

我们都知道A4纸的尺寸是210*297mm，但这个数字是如何产生的呢？

在纸张设计者看来，1：1.414是最适合于标准化纸张型号的比例，以A0到A6这个区间来说，A0=841x1189mm面积正好是1平方米，不断将长边对折分割并且不会改变原来的比例关系（A4为折4次得到的纸张），而在这过程中竟不会造成任何的纸张浪费，有着极为强大的实用性。

不知道读者注意到没有，1.414恰好是根号2的近似值。

打印纸的长宽之比是√2，你造吗？

√2是人类最早发现的无理数之一，从毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现它到现在已经有2500多年的历史了，这个幸运而又倒霉的小伙子后来被毕氏门徒抛入了大海，因为他的发现与毕氏学派的“万物皆数”相抵触。

公元前3世纪希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中第一次给出了“√2是无理数”的完美证明。如果想更多的了解无理数的历史与√2是无理数的证明方法可参考拙作《一位高中数学教师眼中“数的发展史”（二）》。

02向√2逼近的梯子

纸张的长宽之比近似于√2的这些整数是如何得到的呢？

古希腊的毕氏门徒曾经制造了一种梯子，但不是用来登高的，而是用来求无理数√2的近似值的，如下图所示。他们煞费苦心构造向√2逼近的梯子，也许是因为根深蒂固的“比数情节”吧。总以为可以找到两个自然数，使它们的比等于√2。

看到此图我们不禁要问：

首先，梯子左右的两列数是如何生成的？

其次，梯子的同一级上的两数的比值为什么可以向√2逼近？

02.1造梯子的规律