02.2生成数的猜想

我们知道√2的近似值是1.414，这个1.414是怎么的来的呢？它和√2近似到什么程度呢？√2到底是比1.414大，还是比它小呢？

也许我们可以从平方根表上查到的（一不小心暴露年龄了）。也许我们还可以在袖珍电子计算器或者计算机上算出来。但是，不管怎么样，总要有一个可靠的计算方法，才能造出平方根表，才能编出计算机里的程序。

怎么办呢?

艺术家要把一块大理石雕成栩栩如生的人像,不是一下子完成的,他要先砍去一些显然是多余的石头,在这个基础上按计划刻成大体的“人模样”,一次又一次的修整,琢磨,最后才能完成一件精美绝伦的艺术品。

罗马大理石雕塑《索福克勒斯的半身像》,法尔

求√2的近似值,也是这样办的,先找一个粗略的近似值,这比较容易。比方说,1就是√2的粗略近似值。当然,我们不太满意,因为误差|√2—1|太大了。那我们就把1修正一下,比方说加上1/2，得到更好的近似值.再不满意,就再修正一次,这样一次比一次修改得更接近√2，直到清意。这种方法,则做逐次逼近法

在实际工作和理论研究中,绝大多数的数值计算问题,都是用逐次逼近法解决的。计算机是具体实现逐次逼近法的有力工具。

来,我们用逐次逼近法,向√2挺进吧！

首先，√2总是比1大的，比2小的，这就把√2的整数部分定下来了：

1<√2<2, 也就是 √2=1.…

为了确定√2的小数点后的第一位数字，我们可以把（1.1）^2，（1.2）^2，（1.3）^2，

（1.4）^2…相继地算出来，算到（1.4）^2=1.96<2, (1.5)^2=2.25>2时，就不必要继续算下去了，很明显

1.4<√2<1.5,也就是 √2=1.4…

为了再向下求一位，又需要计算（1.41）^2，（1.42）^2，…等等。

这样每算几个数，便可以多知道√2的一位有效数字。进度不快，计算工作量却越来越大。如何简便运算呢？利用不等式的运算规律，可以大大加快计算速度。过程如下：

最终的结果告诉我们，有理数577/408比√2略大一点，误差不超过十万分之一，它是√2的相当好的近似值。用十进制小数表示577/408≈1.41421568…。

其实，√2与577/408之差比十万分之一还要小。因为易知1.5>√2>1.4，故而

这说明√2与577/408之差比二十五万分之一还要小。即误差小于百万分之4,或0.000004.

如果再继续下去的话，我们就可以求出√2的12位有效数字，在平方一次，就达到20位以上的有效数字了。

但是用这种方法来计算，得到的有效数字不是一位一位的增加，而是成倍地增加。

用这种方法我们可以得到部分梯子中的数字，而得不到全部。如何能得到梯子中全部的自然数呢？让我们从“√2是无理数”的图形证法谈起吧！（参考见拙文证法三）

如下图：