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托勒密定理口诀(托勒密定理是我们熟知的什么定理)

来源:原点资讯(www.yd166.com)时间:2024-03-22 15:51:26作者:YD166手机阅读>>

证明abcdef(其中abcdef为图中已知的线段)几何题历来是中学数学学习中难点,面对这类问题一开始就令人觉得无从下手,或思考不了几步便黔驴技穷,最终都不得不遗憾地放弃.

笔者通过对这类问题的探索,发现这类的证明大多遵循着这样的思路:在线段e上找到一个点X,把该线段分为两条mn,使其中的一条m满足ab=mf,然后再证明另一条n满足cd=nf,此时再把两式相加便有abcdmfnf=(mnfef

这种解法跟代数中列方程解应用题的"设元"有点类似,姑且称之为——设未知点法.

具体请看以下几例.

例1 如图1,AB是半圆的直径,弦ACBD相交于点E

求证:AE·AC BE·BDAB^2.

托勒密定理口诀,托勒密定理是我们熟知的什么定理(1)

证明:XAB上一个点,则

ABAX BX)=AB·AX AB·BX

令点X满足:AE·AC= AB·AX…………(1)

AE/AB=AX/AC

连接BC

因为∠EAX=∠BAC

所以ΔAXE∽ΔACB

所以∠AXE=∠C

因为AB为直径,所以∠C=90°,

所以∠AXE=90°,

所以∠BXE=90°.

连接AD.则∠D=90°,

因为∠EBX=∠ABD

所以ΔBEX∽ΔBAD

所以BE/BA=BX/BD

所以BE·BD=BX·AB………………(2)

(1) (2),得:

AE·AC BE·BD=AB·AX BX·BA

AB·(AX BX)=AB·AB=AB^2,

AE·AC BE·BDAB^2.

例2 如图2,ABCD是圆内接四边形.

求证:AB·CD AD·BCAC·BD(托勒密定理).

托勒密定理口诀,托勒密定理是我们熟知的什么定理(2)

证明:AC上取点X,使

AB·CDAX·BD…………(1)

连接BX,则在ΔABX与ΔDBC中,

AB/AX=BD/CD

因为∠BAX=∠BDC

所以ΔABX∽ΔDBC

所以∠ABX=∠DBC

所以∠ABX-∠DBX=∠DBC-∠DBX

即∠ABD=∠CBX

又∠ADB=∠BCX

所以ΔABD∽ΔXBC

所以AD/XC=BD/BC

所以AD·BCXC·BD…………(2),

(1) (2),得

AB·CD AD·BC=(AX XC)·BDAC·BD

例3 如图3,等腰ΔABC中,ABACD是底边BC上任一点.

求证:AB^2=AD^2 BD·DC

托勒密定理口诀,托勒密定理是我们熟知的什么定理(3)

证明:在AB上取点X,使

AD^2=AX·AB………(1)

AD/AX=AB/AD

在ΔADX与ΔABD中,

因为∠BAD=∠DAX

所以ΔADX∽ΔABD

所以∠ADX=∠B

因为AB=AC

所以∠B=∠C

所以∠ADX=∠C

因为∠BDA=∠C CAD

即∠BDX ADX=∠C CAD

所以∠BDX=∠CAD

所以ΔDBX∽ΔACD

所以BD/AC=BX/CD

所以BD·DC=BX·AC……………(2)

(1) (2),得

AD^2 BD·DC =AX·AB BX·AB

=AX BX)·ABAB·AB= AB^2.

所以AB^2=AD^2 BD·DC

例4(2013年全国初中数学联赛题)如图4,圆内接四边形ABCD中,CBCD

求证:CA^2-CB^2=AB·AD

托勒密定理口诀,托勒密定理是我们熟知的什么定理(4)

证明:把求证式改为

CA^2=CB^2 AB·AD.

CA上取点X,使

CB^2=CX·CA………(1)

连接BX.则在ΔCBX与ΔCAB中,

CB/CX=CA/CB

因为∠BCX=∠ACB

所以ΔCBX∽ΔCAB

所以∠CXB=∠CBA

因为四边形ABCD内接于圆,

所以∠CBAD=180°,

所以∠CXBD=180°,

因为∠AXBCXB=180°,

所以∠AXB=∠D

因为CB=CD

所以∠XAB=DAC

所以ΔABX∽ΔACD

所以AB/AC=AX/AD

所以AB·AD =AX·CA………………(2)

(1) (2),得

CB^2 AB·ADCX·CA AX·CA

CA(CX AX)=CA·CA= CB^2,

所以CA^2-CB^2=AB·AD

例5 如图5,AD为△ABC的角平分线,

求证:AD^2=AB·ACBD·DC

托勒密定理口诀,托勒密定理是我们熟知的什么定理(5)

证明:把求证式化为:

AD^2+BD·DCAB·AC

AB上取点X,使

AD^2=AX·AC…………(1)

连接DX,则在△ADX与△ACD中,

AD/AC=AX/AD

因为AD为△ABC的角平分线,

所以∠DAX=∠DAC

所以ΔADX∽ΔACD

所以∠AXD=ADC,∠ADX=∠C

因为∠BXD AXD=180°,

所以∠BXD ADC=180°

所以sin∠BXD=sin∠ADC

因为∠BDA=C CAD

即∠BDX ADX=C CAD

所以∠BDX=CAD

所以sin∠BDX=sin∠CAD

在△BDX与△ACD中,分别由正弦定理,得:

BD/BX=sin∠BXD/sin∠ADC

AC/DC= sin∠BDX/sin∠CAD

所以BD/BX=AC/DC

所以BD·DC=BX·AC………………(2)

(1) (2),得

AD^2 BD·DC= AX·AC BX·AC

=AX BX)·AC

AB·AC

所以AD^2=AB·ACBD·DC

从以上各例的证明来看,这种设未知点法的思路与运用过程可用口诀归纳为如下口诀:

取点得到等积式,化为比例证相似,相似推出角相等,再把相似比例证,化等积再相加,整理即把结论证。

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