△>0<=>方程有两个不等实数根

△=0<=>方程有两个相等的实数根

△<0<=>方程没有实数根

题型一、判别式与方程根的直接应用

例：不解方程，判断下列方程的根

①X^2 2Ⅹ一1=0

②5X^2=2(X一10)

③8X^2 (m 1)X m一7=0

思路探寻：

②先化为一元二次方程的标准形式，以便确定系数。

③含有参数m，常规法求出△=(m一15)^2≥0。结果是有两个实数根。

题型二、已知方程的根，用判别式求参数的取值范围。

已知关于X的方程(k一2)X^2 k=(2K一1)X 有两个不相等的实数根，求实数k的范围。

思路探寻：

有两个不相等的实数根说明二次项系数≠0且△>0，解得k>一1/4且K≠2。

如果条件改为有实数根，求K的范围。怎么解？

易错点：有两个不相等的实数根，说明是二次方程，k一2≠0，很容易直接用判别式，而忽略二次项系数≠0;当条件改为有实根时，需要对二次项系数是否为零展开讨论：

①当k=2时，方程化为一3X 2=0，有实根X=2/3;

②当K≠2时，同上解得k>一1/4且K≠2，

综上所述：K>一1/4。

题型三、可转化为一元二次方程与判别式求解。

已知抛物线y=X^2一2KX 2K一1与X轴有两个不同的交点。

①求K的范围;

②若抛物线与X轴两个交点的距离为2，求抛物线的解析式。

思路探寻：

抛物线与x轴有两个不同的交点，转化为方程y=O有两个不同的根，转化为△>0; ②抛物线与X轴两交点的距离即丨X1一X2丨，需用韦达定理求解。

解析：①△=(一2k)^2一4(2k一1)

=4(K一1)^2>0，解得k≠1.;

②设抛物线与X轴两交点的横坐标分别为X1，X2。X1 X2=2k，X1X2=2K一1，

(X1一X2)^2=(X1 X2)^2一4Ⅹ1X2

=(2K)^2一4(2k一1)=4k^2一8k 4

由已知4K^2一8K 4=4，k=0或k=2

∴抛物线的解析式为y=X^2一1或y=X^2一4X 3。

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