提起数学，很多人都会觉得瑟瑟发抖。怎么才能学好数学？大家都知道，微积分是一切高级数学的基本功，你翻开一本教课书，讲解微积分要用好几百页。怎样才能学好微积分？不是读万卷书，不是走万里路，而是尽量“投机取巧”…

出品："SELF格致论道讲坛"公众号（ID：SELFtalks）

以下内容为中国科学院院士林群演讲实录：

林群：各位听众，今天很有幸能跟各位谈论一点有关数学的事情。

数学知识太多了，我们不可能统统掌握，所以只能在众多的数学分支里面，挑选那些最重要的进行学习。

什么是最重要的呢？比如说我们小学学的算术，那是人类几万年智慧的结晶。小学念完念中学，中学是简单的代数，也相当于算术的发展，还有一些初等的几何学，这是人类几千年的智慧结晶，所以我们要学。

中学念完念大学，大学学什么呢？大学主要学微积分和线性代数，这个是人类几百年探索的结果。

总而言之，人类留下的财富需要我们站在巨人的肩膀上来吃透它，消化它。所以我们必须学习，否则就要回到黑暗中重新探讨，那太可怕了。

我想引用哈佛大学数学系教授邱成桐的讲话。听说他经常告诫学生，“要学好微积分和线性代数，归根结底一切高级的数学都是微积分和线性代数的各种变化。”

所以，我们学习必须有重点，不能够铺开学，太多了，反而学不好。“多则少”，你想学很多，你得到很少；反过来“少则多”，如果你学得很少，比如你就学一点小学数学，学一点中学数学，再学一点大学数学，大学数学就是指微积分和线性代数，这些学习内容对我们的一生都是非常有助益的。

我再重复一遍，多则少！大家不要什么都学，不要学得很多，也不要做很多。现在有各种活动吸引我们，但是我觉得对于学习来说，这些只能起到辅助的作用。

最重要的还是在课堂上学习，把正课学好。把小学的数学，最简单的算术学好，把中学数学最简单的代数和几何学好，把大学的数学学好，就是把微积分和线性代数学好，这是最重要的。

然后，在接下来的工作中再发展，继续学习，因为学无止境。这是第一点意见，供各位家长和学生参考。

怎么学习数学呢？数学太难了，我是最怕数学的，我们一家人都怕数学，我认识很多朋友，包括各种各样工作场合，都最怕数学。

所以数学怎么学，是我很苦恼的问题。我是经常在心里面思考这个问题的。

刚才我说了，邱成桐先生认为，微积分是一切高级数学的基本功。但是，微积分怎么学呢？你翻开一本教课书，讲解微积分要用好几百页。

我从50年前就开始学微积分了，但是看一些教课书，我看得晕头转向，讲的内容太多了。

许多教科书很烦琐，大家要警惕。所以我们要把微积分学好，不是读万卷书，不是走万里路，而是尽量“投机取巧”。

我认为学微积分跟学别的数学一样，“假传万卷书，真传一案例”，把一个案例学好，你就把整个微积分的精神掌握了。

学习微积分用什么案例呢？应该用我们平常生活里经常见到、经常用到的案例。

比如我们经常坐高铁，高铁车厢里头有一个标志显示当前的时速是多少，也就是一小时走多远。速度就是路程除以时间。

我们经过天津站的时候，就显示时速多少，经过大连站时也会显示时速多少。时速是什么意思呢？就是指某一时刻的速度，某一时刻的速度是什么意思？

你看，那个时刻不动，时间等于零，没有时间，火车不能运行，所谓当时的速度，你仔细想想，是一个0除以0的问题，没有时间，就没有路程。那么路程比时间，速度就是0比0。0比0的问题是很严重的，使得牛顿这样的大物理学家都觉得伤脑筋。

但是牛顿很聪明，他想出了办法计算瞬时速度。他设想，火车在很短的时间里，走过很短的距离，因为时间很短，火车没有时间加速，所以它的瞬时速度应该是可以这么计算的，把它变换成一个在很短的时间里面走过的很短路程。

微积分说明书

大家好好想想看，时间很短，火车没有时间加速，所以，速度只有很小的变化，用这个办法来计算，我这里写的，小路程，由x点跑到x h点，很短的时间内，瞬时速度变化很小，因为没有时间变化，时间太短了，瞬时速度很小。

瞬时速度 小变化，再乘以短时间，小路程是这么算出来的，小路程是瞬时速度 小变化，然后再乘以短时间。把它分开，小学的算术学过了，（A B）×C=A×C B×C，瞬时速度×短时间 小变化×短时间，时间缩短以后，小变化就很小，基本上被消灭掉。

全路程就是小路程加起来，小路程加起来是什么意思呢？就是瞬时速度×短时间，加起来，再加上小变化×短时间，短时间加起就是总时间。

比如说北京到上海是一小时，一小时就是总时间。总时间是固定的，比如说一小时，总时间乘以小变化还是很小，因为时间是固定的，时间不变，就是一小时，乘以小变化，还是小变化。

总而言之，全路程是瞬时速度乘以短时间相加，再加上小变化乘以总时间，小变化乘总时间还是小变化，因为总时间是固定的。

比如说一小时，小变化乘一小时，还是小变化。通常是这样，如果瞬时速度不断走，短时间加起来，积累得很多，就是积分了。这个是等于把小学、中学的数学，到大学换了一个名词。

小学的数学跟大学的数学、初等数学和高等数学，本质的区别不大，但是要换一个称呼，把原来的相加变成积分了。

这样的话，就变成一个速度×时间的积分，然后加上小变化×总时间。如果时间不断缩短，小变化就没有了，整个就是速度×时间的积分，也就是路程是速度×时间的积分。这样子就是大学微积分的制高点了，有了这个制高点就好办了。

以火车的瞬时速度为案例讲这么多，是希望把整个微积分展开在你面前，面对案例要认真分析，认真思考，看以下附录。