求函数y=(32x^3 11x 7)^4的导数

• 主要内容：

本文通过幂函数复合函数求导法、取对数求导法等，介绍函数y=(32x^3 11x 7)^4的一阶导数和二阶导数计算的主要步骤。

• 幂函数导数法：

此时看成是幂函数的复合函数，用链式求导，即：

∵y=(32x^3 11x 7)^4,即y=u^4,u=32x^3 11x 7,

∴y'=4*u^3*u’x=4*u^3*(96x^2 11),

即:y'=4(96x^2 11)(32x^3 11x 7)^3。

• 取对数求导法：

y=(32x^3 11x 7)^4，两边取对数得：

lny=ln(32x^3 11x 7)^4=4ln(32x^3 11x 7)，

两边同时对x求导，得：

y'/y=4*(32x^3 11x 7)'/(32x^3 11x 7)

y'/y=4*(96x^2 11)/(32x^3 11x 7),进一步变形有：

y'=4(32x^3 11x 7)^4*(96x^2 11)/(32x^3 11x 7)

=4(32x^3 11x 7)^3*(96x^2 11)。

• 二阶导数计算：

使用函数乘积求法：

因为y'=4(96x^2 11)(32x^3 11x 7)^3，再次对x求导，所以:

y''=4[192x^1*(32x^3 11x 7)^3 (96x^2 11)*3*(32x^3 11x 7)^2*(96x^2 11)]

= 4[192x^1*(32x^3 11x 7)^3 (96x^2 11)^2*3*(32x^3 11x 7)^1]

= 4(32x^3 11x 7)^2*[192x^1*(32x^3 11x 7)^1 (96x^2 11)^2*3]

• 取对数求法：

对y'=4(96x^2 11)(32x^3 11x 7)^3取对数有：

ln y'=ln[4(96x^2 11)(32x^3 11x 7)^3]

=ln4 ln(96x^2 11) 3*ln(32x^3 11x 7)

两边同时对x再次求导，则：

y''/y’=192x^1/(96x^2 11) 3*(96x^2 11)/(32x^3 11x 7),进一步化简为：

y''= 4(96x^2 11)(32x^3 11x 7)^3*[192x^1/(96x^2 11) 3*(96x^2 11)/(32x^3 11x 7)]