这是一个典型的三元齐次线性方程组，求解它时，就利用传统的方法，对其系数矩阵作初等行变换

最终的结果最后一行全是0，说明它有无穷多个解。并且它的秩为2，说明有一个自由向量，我们不妨把ps当成自由向量，于是可以写出它的解空间

ps可以取任意值，当然在现实生活中我们肯定要取成正数。

上述方程组有无数多个解，其实也不难理解，因为均衡价格并不是唯一的，在某一个均衡价格下，三家工厂可以把各自的商品都同倍数的往上调若干倍，那么这样一来得到的仍然还是均衡价格。

当然上述模型是一种最简单的情况，它只是考虑了部门生产出来的产品全部用于再生产，而事实上，还必须有一些商品用来满足社会需求，在真正的列昂惕夫投入产出模型中，还需要再加入需求向量，这样一来就需要使用矩阵分析等更复杂的数学工具，是经济学研究非常重要的理论。

1949年，列昂惕夫为了研究美国经济，将整个美国经济体分成了500个部门，并由此列出了含有500个未知量的线性方程组，将其分解为25,0000个信息单元，输入当时在世界上最先进的电脑之一——Mark II来进行计算。但是其数据之庞大超出了电脑的运算能力，于是列昂惕夫将500个部门缩减为42个部门，再次进行计算。经过56小时的计算后，最终得到了答案。

列昂惕夫的工作不仅是成功地提出了一套分析市场投入产出(input-output)的方法，同时他利用计算机来求解方程，也是人类历史上用计算机处理大规模数据来解决问题的成功案例之一。因此在经济学和数学两方面，他的工作都具有开创性的意义。

参加过理科高考的同学，一定还记得化学课上那些眼花缭乱令人头疼的化学方程式。而其中最麻烦的一类问题之一就是化学方程式的配平(Balancing Chemical Equations)。课上老师会讲很多方法与技巧，但是某个技巧并不一定适用于所有方程式，而且如果方程式过于复杂，那么配起来就需要花很长时间。