前面四节我们已经发现数列求极限问题实际上是比较复杂的，解题方法也是比较灵活的，不同的类型有可能有不同的解法，所以大家在考研复习过程中不能只用题海战术一直刷题，始终要把"做一题会一类"法则放在最前，要善于总结题型，触类旁通。

今天我们来看求极限的第五种方法即利用压缩映像原理求极限，压缩映像原理又称为巴拉赫不动点定理，是度量空间理论的一个非常重要的工具，首先给出压缩映像原理的定义：

接下来将其转换为数列版本：

利用压缩映像原理求极限的本质是通过数列的递推公式得到一个可微函数f(x)，然后通过证明f(x)是压缩的即满足Lipschitz条件，就可以间接证明数列是收敛的，进而通过f(x)的不动点求的数列的极限，极限值恰好为不动点值。接下来通过几道例题来体会利用压缩映像原理求极限的魅力。这些例子很重要，所以大家务必要明确，尤其是关于f(x)的选取，以及如何证明是压缩的。