学过高等数学或参加过考研的同学肯定知道，证明一个数列收敛是一类比较难的问题。在高等数学的范围内，证明一个数列收敛只有两种办法：一个是夹逼定理，一个是单调有界定理。而这两种办法使用起来都有相当的困难。使用夹逼定理，需要找到一大一小两个数列，同时它们还得有相同的极限。使用单调有界定理，不仅需要证明单调，同时还得证明有界，而且两个还必须匹配：如果是单调递增，则需要证明有上界；如果是单调递减，则需要证明有下界。不管是哪种情况，使用起来都相当困难。如果是做大题的话，那么详详细细地写论证步骤还比较划算。但是如果碰到选择题或填空题，一道小题也要耗上很长时间来判断数列是否收敛，从时间上看就很划不来了。
那么，今天就来给大家介绍一种非常快捷的判断数列是否收敛的方法，我们称之为压缩数列法。
1.什么是压缩数列？压缩数列的定义如下：
从这个定义也可以看出来“压缩”的意思，指的就是每两项之间的差值在逐次缩小，并且还要小于一个比例常数，当然我们还要求，这个比例常数比1还要小。
2.压缩数列与收敛性有什么关系？我们的结论就是：
定理：压缩数列一定收敛。
我们来证明一下这个定义，需要使用比较判别法和绝对收敛。
好了，上面就是定理的证明过程。有了这个定理之后，在做选择题和填空题的时候，如果你能发现它是一个压缩数列那么我就知道他一定是收敛的，这样的话能节省很多时间。
3.应用举例首先来看一道在考研中非常常见的一类问题：
