战略上藐视敌人，战术上重视敌人

【题目】

（2018•邵阳）如图所示，将二次函数y=x² 2x 1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax² bx c的图象．函数y=x² 2x 1的图象的顶点为点A．函数y=ax² bx c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax² bx c的解析式；

（2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的1/3？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）y=x² 2x 1=（x 1）²的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x 1）²．

把y=﹣（x 1）²向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x² 4，

∴所求的函数y=ax² bx c的解析式为y=﹣x² 4；

备注：

（1）平移口诀：上加下减常数项，左加右减自变量；

（2）关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。

（2）∵y=x² 2x 1=（x 1）²，

∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x² 4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）；

当x=0时，y=﹣x² 4=4，则B（0，4），

从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，

∵AC=3，AD=1，CD=4，AB=√17，BC=2√5，BD=2√5，

∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率=1/3；

备注：本题特别简单，3选1.

（3）存在．

易得BC的解析是为y=﹣2x 4，S△ABC=1/2AC•OB=1/2×3×4=6，

M点的坐标为（m，﹣2m 4）（0≤m≤2），

①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的1/3，

∴1/2（m 1）（﹣2m 4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC=MN/AN=4/1=4；

当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC=MN/AN=2/2；

②当N点在BC上，如图2，

BC=√(2² 4²)=2√5，

∵1/2BC•AN=1/2AC•BC，解得AN=(3×4)/(2√5)=(6√5)/5，

∵S△AMN=1/2AN•MN=2，

∴MN=4/AN=(2√5)/3，

∴∠MAC=MN/AN=((2√5)/3)/((6√5)/5)=5/9；

③当N点在AB上，如图3，作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN=√17﹣t，

由②得AH=(6√5)/5，则BH=√((√17 )²-((6√5)/5 )² )=(7√5)/5，

∵∠NBG=∠HBA，

∴△BNM∽△BHA，

∴MN/AH=BN/BH，即MN/((6√5)/5)=(√17-t)/((7√5)/5)，

∴MN=(6√17-6t)/7，

∵1/2AN•MN=2，

即1/2•（√17﹣t）•(6√17-6t)/7=2，

整理得3t2﹣3√17t 14=0，△=（﹣3√17）²﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，

∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或5/9．

备注：本题看似复杂，实际比较简单。因此在做题的时候，一定要从心理上面战胜恐惧。

由于AM为斜边，当点N分别在AB和AC上时，可以先定N，过点N作AN的垂线交BC于点M即可。当点N也在BC上时∠ANM为90°，则只需过点A作BC的垂线即可确定点N，点M的位置是任意的。

设未知数表示出△AMN的面积令其等于△ABC的1/3即可。