判断正项级数敛散性是考研数学中经常考察的知识点。比值和根值判别法通常是判断正项级数敛散性的首选方法，它们使用的前提是所求的极限必须存在，且极限值不为1.用比较法判断正项级数的敛散性时，无论是不等式形式还是极限形式，都是比较两个级数一般项趋于零的速度，速度越快的级数收敛的可能性越大，因此，当“慢”的级数收敛时，“快”的一定收敛；当“快”的级数发散时，“慢”一定发散；当它们趋于零的速度“差不多"时，即同阶，则两个级数同敛散。通常以p-级数作为比较的参照。

判断正项级数的敛散性的方法：

（1）比值判别法；

（2）根值判别法；

（3）比较判别法；

（4）积分判别法。

题型一：利用比值判别法判断正项级数的敛散性

比值判别法：

比值判别法

例1：

解：运用比值判别法进行判断：

题型二：利用根值判别法判断正项级数的敛散性

根值判别法：

根值判别法

例2：

解：运用根值判别法进行判断：