导读：本文将从条件概率入手，介绍事件之间独立性的相关概念，然后引出全概率公式和贝叶斯公式的基本内容，带领读者通过概率的视角初步认知现实世界。

作者：张雨萌

来源：华章科技

对于概率，相信大家都不会感到陌生，比如掷骰子这个最简单的概率场景，掷出的点数为5的概率是多少？我们会毫不犹豫地说出答案：概率为1/6。

这个问题太简单了，如果我们只满足于此，就没有什么研究意义了。接下来我给这个问题增加一个限定条件：已知掷出骰子的点数是奇数，再求抛掷点数为5的概率是多少。发现了没有，这个问题中我们没有直接问投掷出5这个事件的概率，而是增加了一个已知点数为奇数的前提。

生活中这类场景更多见，我们一般不会直接去推断一个事件发生的可能性，因为这样做的实际意义并不大，而且也不容易推断出结果。一般而言事件是不会孤立发生的，都会伴随其他一些条件。比如，我问你下雨的概率是多少。你可能会一头雾水，什么地点？什么时间？当日云层的厚度是多少？推断的前提条件都没有，是无法给出一个有意义、有价值的推断结果的。

因此，在实际应用中，我们更关心条件概率，也就是在给定部分信息的基础上，再对所关注事件的概率进行推断。这些给定的信息就是事件的附加条件，是我们研究时所关注的重点。

我们先来具体描述一下条件概率：假设知道给定事件B已经发生，在此基础上希望知道另一个事件A发生的可能性。此时我们就需要构造条件概率，先顾及事件B已经发生的信息，然后再求出事件A发生的概率。

这个条件概率描述的就是在给定事件B发生的情况下，事件A发生的概率，我们把它记作P(A|B)。

回到掷骰子的问题：在掷出奇数点数骰子的前提下，掷出点数5的概率是多少？奇数点数一共有{1,3,5} 3种，其中出现5的概率是1/3。很明显，和单独问掷出点数5的概率计算结果是不同的。

下面我们来抽象一下条件概率的应用场景。

回到最简单、最容易理解的古典概率模式进行分析：假定一个实验有N个可能结果，事件A和事件B分别包含M1个和M2个结果，M12表示公共结果，也就是同时发生A事件和B事件，即事件A∩B所包含的实验结果数。

通过图1-1再来形象地描述一下上述场景。

▲图1-1 事件和事件同时发生的场景

事件A和事件B单独发生的概率分别是多少？读者肯定能脱口而出，分别是M1/N和M2/N。那么再考虑条件概率：在事件发生的前提条件下，事件发生的概率是多少？

此时，我们的考虑范围由最开始的N个全部可能结果，缩小到现在的M2个结果，即事件B发生的结果范围，而这其中只有M12个结果对应事件A的发生，不难计算出条件概率P(A|B)=M12/M2。

为了更加深入地挖掘这里面的内涵，我们进一步对条件概率的表达式P(A|B)=M12/M2进行展开，式子上下部分同时除以全部可能的结果数：