余弦定理

基本图是没有余弦的小学版余弦定理，那么高中版余弦定理该怎么画图呢？

只需要修改第三项的图形，把两个长方形(2aq)改成两个平行四边形(2ab cos C)。平行四边形的一组对边是a，另一组对边是b。当平行四边形是直角时，就成为长方形，面积等于底(a)乘以高(b)，平行四边形边长不变时可以改变角度，在底不变的情况下，降低高度，压缩面积。当这两个平行四边形的底是a，高是q的时候，面积=2aq=2ab cos C。这就是余弦定理的几何意义。

再看基本图，在△ABC中，由cos C的定义可知，q=DC=b cos C，所以有

c²=a² b²－2aq

=a² b²－2ab cos C

C是锐角，第一象限cos C为正，上面的公式右边第三项为负；

C是钝角，第二象限cos C为负，上面的公式右边第三项为正(负负得正)。

C为锐角⇔c²<a² b²

C为直角⇔c²=a² b²

C为钝角⇔c²>a² b²

余弦定理有3个公式，我们只写了一个，该怎么得到全部公式呢？

用循环置换法。即三条边循环置换，a用b代替，b用c代替，c用a代替；角同样有A→B→C→A，就能够得到全部三个公式。

在操作过程中，你感受到了余弦定理对称循环的形式美了吗？

好有一比，就比如一个精美的圆瓷盘，有五个字对称均匀排列成圆形：可以清心也，你说该怎么读？

①可以清心也。

②也可以清心。

③清心也可以。

就像余弦定理的三条公式一样，三种读法都可以。

小结：余弦定理是勾股定理的推广，比后者更一般更普遍更深刻，但是它的发现与证明好像与国人无关，这点值得我们反思。

推导1

推导2

①三角形面积公式；

②内切圆半径；

③射影定理。

知识点和高考题目请看下图：

1996全国高考题