倍数与因数都是数论问题的重要组成部分，好比鸟之两翼，缺一不可。因数问题与倍数问题相辅相成。所以，一定要联想记忆和学习，才能事倍功半。

①倍数：一个整数能够被另外一个整数整除，这个整数就是另一个整数的倍数。

②公倍数：两个或多个整数共有的倍数叫做它们的公倍数。

③最小公倍数：公倍数里最小的那一个叫它们的最小公倍数。

列举法： 3的倍数有：3,6,9,12,15,18,21,24,27,30……

5的倍数有：5,10,15,20,25,30,35……

其中，15和30就是3和5的公倍数，15是它们的最小公倍数。

短除法：

①最大公因数为M；最小公倍数为M×a×b

②最小公倍数的表示方法：有两个数Ma和Mb，若a和b互质（即a和b 没有公因数），则Ma和Mb的最小公倍数为Mab，表示为[Ma,Mb]=Mab

①M×a × M×b=M × M×a×b（最大公因数×最小公倍数=原来两数的乘积）

②M×a×b ÷ M= a × b（ a 、 b互质）

——如何变抽象为具体，从容应对竞赛中的倍数问题？请记住解倍数实际应用类问题三步曲：

第一步：转化

第二步：分解

第三步：应用

【例1】甲乙丙三人沿着200米的环形跑道跑步，甲跑完一圈要一分30秒，乙跑完一圈要1分20妙，丙跑完一圈要1分12秒，三人同时、同向、同地一起跑，最少经过多少时间又再同一起跑线上相遇？相遇时，甲、乙、丙三人各跑了多少圈？

【解析】①转化：根据题给出的条件，知道甲跑完一圈要90秒，乙跑完一圈要80秒，丙跑完一圈要72秒；最少经过的时间就是90,80,72的最小公倍数

②分解：运用短除法可以求出90,80,72的最小公倍数是720。

③应用：经过720秒即12分钟后它们在同意起跑线上再次相遇，此时甲跑了720÷90=8圈，乙跑了720÷80=9圈，丙跑了720÷72=10圈。

——如何变抽象为具体，从容应对竞赛中的倍数问题？请记住解最小公倍数与最大公因数综合问题四步曲：

第一步：设数

第二步：列式

第三步：分解

第四步：排除

【例2】两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，那么这两个数分别是（ ）和（ ）。

【解析】①设数：设这两个数分别为7a，7b

②列式：7×a×b=210，即a×b=30。7a 7b=77，即a b=11.

③分解：根据a×b=30得出a和b得a和b的取值可以为：

④排除：根据a b=11可以得出符合题意的取值为5和6，可以得出这两个数分别为5×7=35,6×7=42。

【例3】已知两个不互质的自然数的差为2，它们的最小公倍数和最大公因数之差为142，求这两个自然数各是多少？

【解析】①设数 设这两个数分别为x，y，它们的最大公因数为a。

②列式：a×b-a×c=2 ，a×b×c-a=142。

③分解：a×（b-c）=2，a×（b×c-1）=142，由a×（b-c）=2得：a=1，b-c=2或a=2，b-c=1。

④排除：若a=1，b-c=2.则b×c=143，b=11，c=13（不合题意，舍）。若a=2，b-c=1时，b×c=72，则b=9，c=8。所以这两个自然数分别是9×2=18和8×2=16。