• 3阶矩阵的行列式：

【主子式】：设A是一个n阶方阵，I和J是集合{1,...,n}的一个k元子集，那么[A]I,J表示A的k阶子式。其中抽取的k行的行标是I中所有元素，k列的列标是J中所有元素。

如果I=J，那么称[A]I,J是A的主子式。

如果I=J={1,...,k}（所取的是左起前k列和上起前k行），那么相应的主子式被称为顺序主子式。一个n×n的方块矩阵有n个顺序主子式。

【余子式】：设A为一个 n阶方阵， A关于一个k阶子式的余子式，是A去掉了这个k阶子式所在的行与列之后得到的(n-k)×(n-k)矩阵的行列式，简称为A的k阶余子式。

A关于第i行第j列的余子式Mij是指A中去掉第i行第j列后得到的n−1阶子矩阵的行列式。有时可以简称为A的（i，j）余子式。记作Mij。

【余子矩阵】: n阶方阵A的余子矩阵是指将A的(i, j)代数余子式摆在第i行第j列所得到的矩阵，记为C。

Cij = (−1)^(i j) Mij

【伴随矩阵】：上述余子矩阵C的转置矩阵，称为n阶方阵A的伴随矩阵。记作A*。

【单位矩阵】：单位矩阵（记作I）的对角线全是1而其他位置全是0。

【置换矩阵】：是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。

3.2.2 逆矩阵，可逆矩阵，（非）奇异矩阵及可逆与其他概念的关系

【逆矩阵】：给定一个n阶方阵A，若存在一n 阶方阵B， 使得AB=BA=I，其中I 为n 阶单位矩阵，则称A 是可逆的，且B 是A 的逆阵，记作 A^(-1)。

【可逆矩阵】：若n 阶方阵A 的逆阵存在，则称A 为非奇异方阵或可逆方阵。

可逆和满秩的关系：对n阶方阵而言，满秩等价于可逆。

可逆和伴随的关系：如果n阶方阵A可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。

然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

【奇异方阵】：若方块矩阵A满足条件|A|=0，则称A为奇异方阵，否则称为非奇异方阵。

可逆和非奇异方阵的关系：对于n阶方阵而言，非奇异等价于可逆矩阵。

3.2.3 对称矩阵、对角矩阵、可对角化和对角化

【对称矩阵】：对称矩阵是一个n阶方阵，其转置矩阵和自身相等：

对称矩阵中的右上至左下方向元素以主对角线（左上至右下）为轴对称。若将其写作A=（aij），则：aij = aji

方阵与对称的关系：对于任何方阵A，A AT 都是对称矩阵。

【对角矩阵】: 是一个主对角线之外的元素皆为0的n阶方阵。对角线上的元素可以为0或其他值。

对角与对称的关系：对角矩阵都是对称矩阵。

【可对角化】：如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P −1AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

方阵可对角化充要条件：n x n方阵可进行对角化的充分必要条件是：

(1) n阶方阵存在n个线性无关的特征向量。

(2) 如果n阶方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数

【对角化】：将可对角化的方阵A通过与转换矩阵P的运算，转换为对角矩阵的过程叫做对角化。

3.2.4 相似矩阵和相似变换

【相似矩阵】：两个系数域为K的n阶方阵A与B为域L上的相似矩阵当且仅当存在一个系数域为L的n×n的可逆矩阵P，使得: