我们为什么要研究牛吃草问题？

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本文将主要从以下个方面讲述牛吃草问题：

1，牛吃草及其相关问题

2，牛吃草问题的3种解法

3，牛吃草问题的3种变形

1.牛吃草问题的描述

牛吃草问题也称消长问题或牛顿问题，是伟大的科学家牛顿提出来的，在其著作《算数》中，有这么一道题目：

有一片牧场，已知牛27头，6天把草吃光；牛23头，9天吃光。如果有牛21头，几天能把草吃光?

牛吃草问题是小学数学应用题中难度较高的题目，如果没有了解过，学生们往往束手无策。当然从环保及可持续发展的角度来说，把草吃光可不是个好主意。

2.牛吃草问题的隐藏条件

牛吃草问题中，有隐藏条件，即牛在吃草，草在生长，牛吃草的速度大于草生长的速度，那么草终究会被吃光。吃草的牛越多，草被吃光花的时间越短。牛吃草问题中的不变量：草地原有草量、牛吃草速度、草生长速度不变。

当然题目中并没有给出这些信息，这些是我们为了解决问题而做出的合理化假设，把实际问题变成数学问题的时候，我们需要做一些合理化的假设，这也叫建模（建立数学模型）。

3.与牛吃草问题相似的问题

牛吃草问题也称消长问题，顾名思义，此消彼长。

如果我们把牛吃草看成是牛需要做的工作，牛吃草问题就变成了工程问题。

如果我们把草铺成一条道路，牛在道路的这头，道路的那头的草不停的生长，牛吃草问题就变成追及问题。

同样类似的，船漏水舀水，闸口放行都可以看出牛吃草问题处理。

了解了什么是牛吃草问题，我们看如何解决牛吃草问题，本文提供三种解法。

1，常规算数解法（1个假设，1个核心关系式，需掌握）

假设：一头牛一天吃掉的草量为1。

核心关系式：牛共吃掉的草量=原有草量 新生长草量

分析：把题目中的已知条件代入关系式，研究各个量之间的关系。

牛27头，6天吃光，即，27头牛6天吃掉的草量=原有草量 6天生长草量，代入数据有：

27×6=原有草量 6×每天生长草量..............................①

牛23头，9天吃光，即，23头牛9天吃掉的草量=原有草量 9天生长草量，代入数据有：

23×9=原有草量 9×每天生长草量..............................②

比较①②式可知，两次吃草的时间差为9-6=3（天），总草量的差为23×9-27×6=45，也就是3天生长的草量为45，那么一天生长的草量为45÷3=15。

根据①式可知：

原有草量=27×6-6×每天生长草量

=27×6-6×15

=72

回归到问题：如果有牛21头，几天能把草吃光?

核心关系式依然成立，直接代入数据有：

21×？=原有草量 ？×每天生长草量

21×？=72 ？×15

这里，我们如果学过一元一次方程，我们直接用方程解即可。

如果没有学过方程，或者掌握不好，可以这么理解：21头牛一天吃21份草，而草地每天长15份草，两者抵消，相当于每天能吃净草21-15=6（份），草地共有净草72份，共需吃72÷6=12（天）。

（这里有没有熟悉的感觉，72就是追及问题中的追及路程，而21-15就是速度差，牛吃完草的时候就是追上的时候。）

总结：①②式我们称之为关系式，在工程问题中也可以用类似的方法帮助我们整理思路，而且可以更好的想方程思维过度，帮助学生从整体上把握题目的走向。

牛吃草问题我们这里不提供任何公式，关键需要理清其将实际问题转化为数学问题过程中做的一些假设，以及基本关系式，这些关系式既有生活常识，也有理性思维，需要保持对生活的观察和思考的热情。

方法1的拓展（以下分割线内有能力的学生可以参考了解）

• 利用二元一次方程，部分有能力的学生或许已经接触过或者有能力接受，当我们把2.1中①②两式中的“原有草量”用x代替，“每天生长草量”用y代替，则可得二元一次方程：

23×9=x 6y..............................①'

23×9=x 9y............................②'

②'-①'有：

23×9-23×9=9y-6y

y=15,

代入式①'有：

x=72

后面的计算同方法1。

（当然，我们也可以设21头牛吃完草的天数设为z，在利用一次核心关系式，就变成了三元一次方程，有兴趣和能力的同学可以尝试。）

• 看成追及问题解答

如图：在前面的描述中，我们已经知道，原有草量可以类比为追及问题中的追及路程，牛在追，草在长。

我们重新设定这道题目：

牛从A地出发，草从B地出发，牛的速度是27，6天追上草；牛的速度是23，9天追上草。当牛的速度是21，几天追上草？

分析：本题中，牛的速度在变，而草的速度不变，追及路程不变。

追及路程=速度差×追及时间

由3次追及中追及路程相等作为等量关系，有：

（27-V草）×6=（23-V草）×9

（也可理解为速度差和追及时间成反比例）

解方程可得V草，代入追及路程公式可得原有草量，再用公式可得V牛=21时的追及时间。

2，分数解法（基础较好的同学掌握）

鉴于分数在小学中的重要性，此方法是对分数应用基本功的一种检验。小学五六年级，分数计算及应用是核心，单位1的量的又是其中的重难点。所以，牛吃草问题的第二种解法我们从分数的角度来分析求解。

思路1（跟方法1的思路类似）：

设27头牛6天吃草总量为单位1，则一头牛一天吃草的量为：

23头牛9天吃草：