孩子从初中开始接触到函数，学了一次函数、反比例函数、二次函数，也学了一元二次方程。二次函数和二次方程是比较难学的，难到什么程度？在我辅导学生时会发现，直到高中了可能他们还没有真正把二次函数学透彻、用明白。

然而二次函数又是高中数学一个非常重要的工具。虽然到了高中我们还要学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等新的函数类型，但二次函数始终还是一种应用最广泛、最灵活的函数类型。

说起根与系数的关系，我们会马上想到判别式和韦达定理。用韦达定理，通过两根之和、两根之积可以表达两个根同正、同负、一正一负，或者其他一些比较简单的情况。

但对于更普遍也更复杂的根的范围要求，更好的办法是利用二次函数图像，除了判别式以外，用开口方向、对称轴、区间端点的函数值等几个条件来把图像“锚定”成题目里要求的样子。

看下面这张图：

图1

这么多的根的范围，可以归为两类：

1）两个根在同一区间内。

比如图1中的(1)~(5)是这类情况。

2）两个根分别在两个区间内。

图1中的(6)~(10)是这类情况。

通过画抛物线图像，在开口方向确定的前提下，观察符合要求的图像的对称轴的位置、区间端点函数值是正是负，再看看不符合要求的图像是什么样子，我们就能为符合要求的图像找到最简洁的约束条件——表达的形式就是不等式/不等式组。

经过画图总结，我们发现上面说的两类问题有其规律。

第一类问题，需要的约束条件是比较多的。（图2）

图2

第二类问题，只需要用区间端点的函数值就能约束。（图3）

为什么连判别式也不需要了？因为当开口向上又有小于0的函数值时，就能保证函数图像与x轴有两个公共点了，对吗？

图3

我们来看把这些约束条件列成不等式/不等式组的具体情况。（图4是第一类，图5是第二类）

图4

图5