从小学的自然数到初中的有理数进行了第一次数的扩充。数的扩充是生活的需要，为了记录相反意义的量，引入了负数。负数的引入使生活中实际问题的解决大为便利。

北师大版数学七年级上册第23页的引例和24页的例题等，都说明了引入负数使得实际问题的解决大为简便。这样就将自然数扩充到了有理数。同学们可以阅读一下北师大版七年级上册25页的《负数小史》（因为我们这里都用北师大版的数学教材，所以我在此都以北师大版教材为例）。

在学习了有理数之后，同学们要注意有两个角度描述有理数：一个是从整数和分数的角度，另外一个是从正数、零和负数的角度，描述有理数。实质是一样的，只是描述的角度不同而已。

数学家们为了更形象的研究和描述有理数，引入了数轴。数轴是进一步研究数学的基础，数轴可以说是从一维的角度研究数。而以后要从二维角度研究平面问题，就有了平面直角坐标系，它也是我们研究函数的基础。如果有同学到大学里学习空间解析几何，就是在三维空间里研究的，是由三个互相垂直的数轴，建立了空间直角坐标系。而这些的基础都是数轴，由此可见数轴的重要性。

引入数轴后，我们又学习了一个重要的概念：绝对值。大家一定要对绝对值引起重视，因为它是我们学习有理数运算法则的关键。绝对值的引入是为了在有理数范围内进行计算，引出运算法则。可以说每一个知识点，都是为了后续的知识做铺垫，但每一个知识点本身的也有实际意义。

有了绝对值的概念，我们就可以定义有理数的加、减、乘、除、乘方等运算法则。我们在这里回忆一下这些法则，看看新旧知识之间的联系，以及什么是联系它们的纽带。

有理数加法法则：同号两数相加取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数。我们看到，加法法则与小学学过的加法相比，只多了一步：判断符号。先根据绝对值判断和的符号，然后再进行绝对值的计算。而绝对值（非负数）计算，就是小学知识了。

有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。在这里，我们首先要知道什么是相反数：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别的，0的相反数是0。

而绝对值的概念：在数轴上一个数所对应的点，与原点的距离叫做这个数的绝对值。例如， 2的绝对值等于2，—3的绝对值等于3。我们还知道：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。这里面还有两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积仍为0。

有理数的除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何非零数都得0。注意，零不能做除数。

有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。

可见，判断符号和绝对值运算是有理数运算的关键，有了绝对值的概念，新的知识就转化为旧知识了。所以有理数的运算问题，比起自然数运算，只多了一个判断符号，然后根据运算法则，根据每个参与运算的因数的绝对值的大小或者因数的正负，判断出运算符号，然后就转化为小学的正数和0的运算。所以小升初的同学，只要弄明白自然数运算，弄明白绝对值的概念，理解并记住运算法则，那么所有的新知识就转化为旧知识。

每一个有理数都能在数轴上找到一个点和它对应，但反过来，数轴上的每一个点，却不一定对应的是有理数。比如，边长为1的正方形，它的对角线长就是根号2，而这个根号2，就不是有理数。因为根号2是无限不循环小数。

我们可以在数轴上找到根号2对应的这个点。这就说明数轴上的点，并不是和有理数有一一对应的关系，也就是说数轴上的点，有的数不是有理数，像根号2，根号3，根号5等等，那么这些数我们把它称为无理数。无理数的概念是怎样定义的呢？无限不循环小数称为无理数。像我们以前学的，圆周率就是一个无理数。

我们把数从有理数又扩充到无理数，那么有理数和无理数，统称为实数。初中阶段就学习两类数：有理数和实数（有理数集是实数集的子集）。这样数轴上的点，就和实数有了一一对应的关系。数的发展远远不止于此，以后同学们如果到了高中，还会学到复数。

在初中阶段数的运算重点还是熟练进行有理数的运算以及应用，（二次根式内容下次讲）绝对值在这里起了一个关键的作用。我们如果理解了绝对值，会利用运算法则进行运算，那么我们现在学习有理数的所有运算就转化为通过运算法则，先判断符号，然后转变成绝对值的运算。而绝对值就是正数和0，这样，有理数的运算，就转化为正数和零的运算，只是多了一步判断符号。