由反正切函数定义,利用单位根i

arctanx=∫(0,x)dt/(t^2+1)=(1/2i)∫(0,x)[1/(x-i)-1/(x+i)]dt=(1/2i)In[(i-x)/(i+x)]

又[In(x+c)](n)(代表n阶导数)=(-1)^(n-1)(n-1)!/(x+c)^n

则(arctanx)(n)=(1/2i)(n-1)!(-1)^(n-1)[1/(x-i)^n-1/(x+i)^n]

由Euler公式变形得:

(x+i)^(-n)=(x^2+1)^(-n/2)e^(-int)

(x-i)^(-n)=(x^2+1)^(-n/2)e^(+int)

其中

t=arccotx

得(arctanx)(n)=(n-1)!(-1)^(n-1)sin(nt)/(x^2+1)^(n/2)

t=arccotx