一道高考题-2022年2卷第18题

记三角形ABC内角A， B， C的对边分别是a, b, c, 以a, b, c为边的三个正三角形的面积分别为S1， S2， S3， 且S1-S2 S3=√3/2, sinB=1/3,

（1）求三角形ABC的面积

（2）若sinAsinC=√2/3, 求b.

解：先求（1）有关三角形的面积

因为对于正三角形其面积S=√3a.a/4, 带入给定的已知等式有：

√3a.a/4-√3b.b/4 √3c.c/4=√3/2

化简后有：

根据给定的是角B的正弦值，所以针对角B利用余弦定理：

将上面的两个等式左右相加后得出：

0=2-2ac·cosB

由于三角形ABC的面积为A=(ac·sinB)/2

将上面的两个等式组合后，有

S=(sinB/cosB)/2=(tanB)/2

根据sinB=1/3, 则tanB=1/√8=√2/4

最后三角形ABC的面积A=√2/8

(2) 接下来求解b的长度，利用正弦定理

首先根据（1）要求出ac的值，

显然

ac=1/cosB=1/(2√2/3)=(3√2)/4

因为：

b/sinB=a/sinA

b/sinB=c/sinC

将上面的两个等式左右相乘

b/sinB·b/sin=ac/(sinAsinC)

将ac=(3√2)/4

和sinAsinC=√2/3

即得出：

b/sinB·b/sinB =9/4

所以b=3/2·sinB=3/2·1/3=1/2