1938年5月，几经辗转的郭永怀来到了位于昆明的西南联合大学。从威海到昆明的路途中，他亲眼看见日寇的飞机对着赤手空拳，无辜的中国人狂轰滥炸，那一幕幕中国人惨遭屠戮的画面一直在他脑海中回放。
郭永怀想：
中国必须要有航空飞机，我必须要改学理工，如果可以的话，一定要出国学习航空工程。
从那以后，郭永怀的兴趣便从光学转向了与航空有关的力学。
来到昆明的郭永怀借住在昆明的昆华中学高中部的一个小小四合院里。四合院虽小，但里面的人才可不少：有钱伟长、林家翘、汪德熙、段学复等人。
1939年的夏天，一个消息让这个小四合院顿时沸腾起来：中英庚款留学生委员会决定举办留学生招生考试，英国当局决定用中英庚款招收中国留学生。在这种情况下，能够出国留学、学习西方的知识，是多么难得的深造机会呀。
饶毓泰先生极力推荐郭永怀去参加考试。但这次招生总共只有二十二个名额，报考的人却有三千之多；力学专业研究生只有一个名额，竞争的有五十多人。
最后，考试结果令所有人震惊：郭永怀、钱伟长和林家翘三人成绩一样，但是名额只有一个，究竟该让谁去呢？后来，在各界人士和多位教授的周旋下，郭永怀、钱伟长和林家翘三人，被考试委员会全部破格录取了。
留学生招生考试结束后，这个小小四合院，有一半以上的人都成功上榜了，真是优秀的人才和优秀的人做朋友啊，要是你周围的人都很优秀，那么，你也不会差到哪儿去。
终于，可以出国留学学习新知识了，可惜好事多磨。正当他们云集香港准备前往英国留学时，欧洲又爆发了新的战争，海路不能走了，众位学子只能原路返回昆明。
直到第二年元月的时候，英国政府才同意中国这批留学生，可以前往英联邦成员国继续学习。
出国留学的二十二人决定在上海搭船前往加拿大，谁知大家上船后拿到护照一看，上面居然有日本的签证，要知道当时日本正在屠*中国人、侵略中国企图灭亡中国，二十二位打算出国的留学生如何能接受这个签证！
他们立刻果断地向英国代办提出抗议：去掉日本国的签证。
英国代办十分恼怒，威胁他们：你们要是不接受这个签证，就直接取消你们的留学资格。正当有几个人准备妥协时，一向沉默寡言的郭永怀，再也按捺不住心头的怒火，坚决地说：
“我宁可不出国，也绝不接受日本的签证。我们中国人也要有自己的骨气。”
郭永怀的话激起了大家心中的爱国情，二十二个留学生全部走下了即将起航的轮船，返回了昆明。
后来，在多方交涉下，同年9月，二十二位留学生又接到了出国的通知，不过得从香港出发。没想到，国民党教育部长朱家骅，为了在这些留学生中发展国民党势力，居然叫人偷偷的在每个留学生的文件表格中塞露一张加入国民党的申请书，等着“愿者上钩”。
看到这份申请书的郭永怀，毫不犹豫地把它撕成了碎片扔进了大海中。
1940年9月，远涉重洋的郭永怀、钱伟长、林家翘三人来到了加拿大的多伦多大学。当时负责接见他们的是多伦多大学应用数学系的力学家辛格教授。
辛格教授看了郭永怀、钱伟长、林家翘三人的成绩单。在和他们进行几次学术见解交流后，发现这三人基础扎实，学识渊博，而且在中国国内的时候就已经做出了不少一流工作，对他们大为赏识，毫不犹豫地把这三人都留在身边、亲自教导。
短短半年后，郭永怀、钱伟长和林家翘三人都取得了优异成绩，郭永怀还凭借《压缩粘性流体在直管中的流动》这篇论文，拿到了硕士学位。
辛格教授赞叹说：
“真没想到中国还能有这样出色的人才，郭永怀、钱伟长和林家翘这三人是我穷此一生都很少遇见的优秀青年学者。”
后来，为了研究可压缩粘性流体跨声速流动的不连续问题，郭永怀于1941年5月来到了美国加州理工学院所在地帕萨迪那，向当代航空大师冯·卡门求教。值得一提的是，当时是钱学森去接郭永怀的。
巧的是，冯·卡门和他的学生们也一起在探索这个棘手的难题。
在20世纪40年代初，国外的航空业已经有着相当高的水平，变化最明显的就是，飞行速度不断提高——可达到每小时700公里。
但就在人们试图继续提升飞机的飞行速度、进行跨声速飞行时，遇到了极大的困难。
也就是，当飞机的飞行速度接近声音在空气中的传播速度——约每小时1200公里时，飞机受到的阻力会突然增大，支撑飞机飞行的升力骤降，舵面失灵，飞机开始变得头重脚轻，机翼和机身都会发生强烈的震动，当时航空工业的人们都称它为“声障”。
不知有多少勇敢的飞行员想要挑战这个速度，可都是以机毁人亡的结局告终。
后来人们做了大量的试验测量，发现飞机在进行跨声速飞行时，会出现一个周围气体性质发生跃变的不连续面，也许这就是“声障”的根源，也由此诞生了研究跨声速流动中不连续解的课题。
研究跨声速流动中不连续解的课题，不仅具有是理论意义，还对跨声速飞机的设计具有实践意义：
若是飞机真能实现从超声速流动到亚声速流动的连续过渡，那么，便可以在不增加发动机推力的情况下，提升飞机的飞行速度了。
但要从理论上解决跨声速流动中不连续解的课题，也并非易事，当时美国加州理工学院的航空系正处在鼎盛时期，但即使是那些出类拔萃的人中，也很少有人敢挑战这个难题。
冯·卡门看到了“明知山有虎，偏向虎山行”的郭永怀挑战这个难题的决心，非常佩服这个年轻人的无畏精神，并开始尽力为他创造良好的环境，使郭永怀能够集中精力克服这个难题。
冯·卡门还经常对别人说：
“郭永怀正在做一个最难的课题，没什么重要的事就别去打扰他。”
就这样，郭永怀开始了最艰难的研究课题工作，停止了一切娱乐活动。除了和同伴钱学森，钱伟长，林家翘等人进行学术研讨外，他一直是一个人在那里冥思苦想、进行繁重的计算。
这个课题中的绝大部分计算，主要是要靠电动计算机来完成，但要计算的级数和像素非常多，计算机也时常出毛病，面对反复出现的困难和失败，郭永怀必须抱着极大的耐心才能继续下去。
有人甚至规劝他：要不你改个题目吧，何必这样为难自己呢？郭永怀回答说：
“要是所有人遇到困难都选择绕道走，科学怎么会发展呢？”
人生能有几个四年，你会选择把人生中的一个四年用在什么时候？有人会选择谈一场恋爱，有人会选择出国旅游；郭永怀用了一个四年，完成了有关跨声速流动不连续解的论文，成功拿到了博士学位，他在跨声速领域中取得的成就得到了世界的认可。
钱学森先生曾对他做出了恰如其分的评价：
“郭永怀做博士论文，找了一个谁也不想、谁也不敢沾边的题目，他孜孜不倦地干了四年，得到的结果既出人意料又合乎情理之中。”
