上期我们讲到了周公要在洛阳建立新都城，网罗天下有才之士参与建设。被认为是数学权威的商高也被请来参与勘测工作，被任命为周大夫。由于商高在数学方面的造诣非常高，而且是周公弟弟与儿子的老师，周公非常敬重他，商高到洛阳的第一天，周公就亲自登门拜访。
在周朝，周公一人之下万人之上，其个人在政治、经济、军事等各方面的才能也是相当突出，“周公吐哺”的故事家喻户晓，其对待有才之人的态度天下皆知。能得到周公垂青足以看出商高在周公心目中的位置。能得到周公亲自登门拜访那是相当荣耀的事情。
一、为何商高会得到如此隆重的礼遇
在周朝人的观念中, 数是一个“先天地而已存, 后天地而已立”的自在之物，数早已超出了数学本身的要义，从某种意义上来说，已经被赋予了极其丰富的神秘色彩，被确定为一种与天地共存的神来之物。在西周，数学没有单独独立出来，而是混杂于术数学的，往往与推理、占卜等混杂在一起。而在周朝, 数术的地位是非常崇高的。《周礼》中 即写道: “凡国之大事, 先筮后卜”。由于数术学崇高的社会地位和强大的社会功能, 所以它对古代王权的建制产生了深刻的影响。作为术数学重要分支的数学当然也会得到社会的尊重和重视，那些精通数学的人往往会被成为膜拜的对象。所以周公亲自登门拜访商高是情理之中的事情。
二、如何测量天高？
对于未来生活，人类脑海中可以进行非常充分地构思想象，对美好生活的不懈追求是人类社会持续发展的持久动力。在中国古代，对于“天”的认识是充满无限想象的，浪漫的思维是任意驰骋的，人们遥望浩茫的苍窍,都会产生一种极其美妙的幻想, 总想有朝一日,飞出这个被禁锢的大地, 御清风邀游于繁星之间,漫步于这个神秘而风光绮丽的天国。人们非常渴望能够去天上看上一看，那么“天”距离“地”有多远则成了永恒的话题，自古以来,不断有人拷问：“天,到底有多高呢?” 。
回答不了的人，于是只能借助神话，靠臆想来给出答案，《淮南子·地形篇》写道: “建木在都广, 众帝所自上下”, 意思是说: “在都广那个地方, 有一棵大树, 名叫建木, 各方天帝是缘着它在天地之间来往的。”所以, 建木实际上是一副天梯, 只需量一量天梯的高度, 也就知晓天的高度了。呵呵，这个回答是荒唐的，非常可笑！对于稍微有些理性的人来说，都是无法接受的。对于务实的周公来说，这样的类似答案当然也肯定是不满意的。周公一直期待有个合理的回答。
周公登门拜访商高，二人相谈甚欢，非常投机，周公非常钦佩商高的学识。突然，周公问商高：““穷闻乎大夫善数也, 请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升, 地不可得尺寸而度, 请问安从出?"意思是，“没有台阶可供我们上天, 又没有一把合适的尺子可供我们量地, 那么, 怎样确定天有多高、地有多广呢?”
商高回答说: “办法是有的,那就是利用勾、股、弦之间的关系, 譬如如说勾三、股四、弦五。 当年大禹治水, 要根据山川高下的形势引洪入海,就是用这种方法测量大地。”
商高所说的这个方法就是大家所熟悉的勾股定理。现代中学生都非常熟悉！但是这个对于这个定理能够“测天量地”却是很多人持怀疑态度的。为什么，无法想象！
但是商高的这句话却是打动了历代人的心，多少有志之士为寻求他所说的“测天量地之术”, 绞尽脑汁、索遍枯肠, 一直未见丝毫眉目; 不过, 功夫不负有心人, 在商子之后约 1500年( 公元三世纪的三国时期) , 终于有一位数学家将这个谜团打破, 这个人名叫赵爽。 为了说清测量天高的方法, 他绘了一张图, 名叫《日高图》, 如下图所示, 平地上竖立两根高度为a的竿子AB和CD, 两竿之间的距离为b; 当太阳照到竿顶时, 根据两竿的影子BE和 DF。 便可以计算出太阳离竿顶的高度, 加上竿高, 则太阳离地面的距离为OA=a ab/(EF-BH)
下面我给出证明：在地面上竖立两根长度都为a的竿子BC与ED,它们在太阳光照射下形成的影子分别为BH与EF.设两根竿子之间距离为BE=b。过点D作DG//AH。可证DG=CH,BH=EG
即根据两根竿子的高度与两者之间的距离，以及它们在地面上影子的长度就可以计算出太阳到地面的距离。
以上就是商高回答周公“如何测量天高”的方法，就是用“勾三股四玄五”的方法构造直角三角形，利用相似基本原理计算所得。
由于周公只是一名政治家，政府官员，估计专业数学功底也不是很深厚。商高肯定不能从最基本的勾股原理讲起，只能讲个大概齐。但这个大概齐的回答，给我们后人留下的却是巨大的思考空间。让我们深深折服于古圣先贤的智慧深邃。
三、理性认识商高的测量天高
佩服归佩服，但是我们还得理性的来思考商高的测量天高。
上面推导出的式子从理论上说是一个很美妙的结果！但很可惜，与现实是不符的，只能是一种抽象性的认识。在实际测天的计算中无法实现。
为什么呢？
首先，因为太阳距离地面实在是太远了, 竿子有关尺寸与太阳的关系相对地可以忽略不计;
其次，而且如果两竿相距太远, 地面不是“平”的; 况且太阳与两竿三者也并非处于同一平面, 因此计算结果误差就会非常大。
正是因为以上两点，使得商高测量天高虽然理论上可行，但完全失去了现实意义，即使到现在，利用先进技术手段，要想得出太阳距离底面的高度，也不是一个特别容易的事情，与测量工具的选取，地球与太阳上选择的测量点等等因素都密切相关。
不过, 商高的思考，赵爽的解读却给我们一个现实的启发。若不是测量太阳，而是测量地球上小山或某些建筑物的高度，不用登上山顶，利用以上方法，就可以达到目的。这是一项非常有创见性的发明, 它提供了一种不需要直接丈量而可测定“可望不可及”的物体高度的通性通法。
例如，想测定上图的小山高度, 可在远处地面上 竖立两根竿AB和CD, 定下人眼睛望小山顶与竿上端重合处E、F两点。设竿高为a, 两竿之间的距离为b, 竿与人眼的水平距离差为d( 即D′F- B′E) , 则从竿上端水平面至山顶的高度应为h'=ab/d。而从地面至山顶的高度为h=h' a.
