倒水问题：

现有两个容积分别为15升和9升的容器，其中，15升的容器中已经装有11升的水。你可以做下面的操作：

（1）把一个容器灌满；

（2）将一个容器中的水全部倒空；

（3）将一个容器中的水倒入另一个容器中，直到一个容器满或另一个容器空为止。

请问，下面哪些水的容量无法通过上面的操作量出来？

（A）2升；

（B）5升；

（C）7升；

（D）14升；

（E）上面的四个都可以量出来

解答:

选C，7L

2升：将11L倒入9L容器直到满，剩下2L。

5升：将9L容器装满水，倒入15L容器，倒满时9L容器里还剩5L。

14升：在5L的基础上，把15L倒空，将5L倒入，然后再把9L容器装满，倒入15L容器，此时15L容器有水14L。

7L：怎么倒都不行。

为什么7L不行？还得先从一般的倒水问题说起。一般的倒水问题如下：

有两个容器A, B，容量分别为a和b，初始时候两个容器都是空的，问能否量出某个容量的水？

这个问题里，能倒出的水的量是a, b的最大公约数(a, b)的倍数。只要a, b互质，那么能量出所有的整数容量的水。这是因为，如果a, b互斥，那么一定存在整数x, y， 使得ax by=1（具体证明可以由辗转相除法而得）。假设在上述等式中，x>0, y<0， 那么不断地重复下列操作：

（1）装满A容器；

（2）倒入B容器直至B满；

（3）将装满的B容器的水倒空；

（4）如果A容器中有剩余的水，再倒入B

这里注意两点：B容器不装满，不倒空；A容器不空则持续往B倒水，直到A空了才装满水。

这样，将A装满x次，B倒空|y|次，则容器中剩下1升水。

对于任意的整数k, 我们有kxa kyb=k，同样重复上面的操作可以得到k升水。

但上面这个问题稍有点区别，容器开始不是空的。因此，我们存在下面的选择：

（1）将11升水先倒掉，那么就剩下两个容积分别为15L和9L的空容器，由于15和9的最大公约数是3，因此能量出的水是3的倍数；

（2）11升水不倒出，那么最后能倒出的水是11 15x 9y, 这个数不可能等于7， 这是因为，假如11 15x 9y=7, 那么15x 9y 4=0。这个等式右边能被3整除，左边不行，矛盾。可以看到：

当x=0, y=-1时，表达式的值为2L，也就是将11升水倒入9升容器，15升里剩下2升；

当x=-1,y=1时，表达式的值为5L，也就是将9升容器装满倒入15升容器，9升里剩下5升；

当x=-1, y=2时，表达式的值为14升，也就是将9升容器装满倒入15升容器，后者倒空，前者剩余5升，再将5升倒入15升，再将9升容器装满倒入15升，得14升。

基于上面的结论，能够量出的水可以是：0，2，3，5，6，8，9，11，...，

也就是可以量出3k或3k 2，但量不出3k 1。

昍爸，计算机博士，曾获初中和高中全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学满分。现为大学计算机专业教授，平时注重提升孩子的数学和计算思维。此公众号将伴随昍昍的成长，分享寓教于乐、学以致用的数学与计算思维教育方式。