平行线的性质和判定是几何学中的重要内容。以下是对其性质和判定的详细解释：

平行线的性质：

同位角相等：两直线平行时，它们被第三条直线所截得的同位角是相等的。

内错角相等：两直线平行时，它们被第三条直线所截得的内错角也是相等的。

同旁内角互补：两直线平行时，它们被第三条直线所截得的同旁内角是互补的，即它们的角度和为180°。

平行线间的距离处处相等：在两条平行线之间，任意取两条垂直于这两条平行线的线段，那么这两条线段的长度是相等的。

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行：当两条直线被第三条直线所截，如果它们所截得的同位角相等，那么这两条直线就是平行的。

内错角相等，两直线平行：同样地，如果两条直线被第三条直线所截，并且所截得的内错角相等，那么这两条直线就是平行的。

同旁内角互补，两直线平行：如果两条直线被第三条直线所截，并且所截得的同旁内角是互补的，即它们的角度和为180°，那么这两条直线就是平行的。

平行于同一条直线的两条直线互相平行：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也是平行的。

在证明平行线的性质和判定时，通常会使用反证法。例如，假设两条直线不平行，然后根据已知条件推导出矛盾，从而证明原假设不成立，即两条直线是平行的。

以上内容仅供参考，如需更详细和系统的解释，建议查阅相关教材或咨询数学老师。

平行线的性质和判定是几何学中的基础内容。在这里，我将简要概述一些主要的平行线性质和判定方法，并给出简单的证明解释。

### 平行线的性质

1. **同位角相等**：如果两条直线被第三条直线（叫做横截线）所截，那么同位角相等。

2. **内错角相等**：如果两条直线被横截线截，那么内错角相等。

3. **同旁内角互补**：如果两条直线被横截线截，那么同旁内角互补（即它们的和为180度）。

4. **一条直线的平行线有且只有一条**：在同一平面上，一条直线只能有一条与之平行的直线。

5. **平行线的公垂线段相等**：两条平行线与它们之间的公垂线段（即垂直于两条平行线且位于它们之间的线段）长度相等。

### 平行线的判定

1. **同位角相等**：如果两条直线被横截线截，且同位角相等，则这两条直线平行。

2. **内错角相等**：如果两条直线被横截线截，且内错角相等，则这两条直线平行。

3. **同旁内角互补**：如果两条直线被横截线截，且同旁内角互补，则这两条直线平行。

4. **一条直线与一对异旁内角互补**：如果一条直线与一对异旁内角互补，那么这另一条直线与该直线平行。

5. **横截线截一对同位角相等**：如果横截线截一对同位角相等，则被横截线所截的两条直线平行。

### 证明解释

以同位角相等来判定两条直线平行为例，假设直线AB和CD被横截线EF所截，形成了同位角α和β。根据同位角的定义，我们知道α和β的大小相等。如果我们能够证明α和β确实相等，那么我们就可以得出AB和CD平行的结论。

证明步骤如下：

1. 假设直线AB和CD被横截线EF所截，形成同位角α和β。

2. 测量角α和角β的大小，并假设它们相等（即α = β）。

3. 按照同位角的定义，我们知道同位角是由两条直线被一条横截线截形成的对应角，因此它们应该有相同的大小。

4. 由于α和β都符合同位角的定义，并且我们已经假设它们相等，所以我们可以得出结论：直线AB和CD平行。

以上是平行线性质和判定的基本概述。在实际应用中，这些性质和判定是非常有用的，它们不仅适用于几何学的证明，还广泛应用于工程、建筑和其他领域。