本文为“第三届数学文化征文比赛
《镜花缘》中的数学“缘”
作者: 彭向阳
作品编号：029
《镜花缘》是一部可以与《西游记》、《水浒传》、《三国演义》和《红楼梦》媲美的我国古典名著，也是一部融合了四大名著文字特色的名著，它里面有仙界冥间的传说，有国外游记的描述，有志士精忠报国的豪气，有民间医药单方，更有诗词歌赋。我更欣赏的是，它还有数学题目。想起书中的百花仙子，不仅仅貌美如花，还精通诗书礼易，更懂枯燥的数学，真是感叹这才是才女仙人。
例1第七十六回，廖熙春出的问题：“适值有人送了一盘鲜果，妹子按人分散，每人七个多一个，每人八个少十六个，诸位姐姐能算几个分几果么？”司徒娬儿道：“此是盈朒算法，极其容易：以七个、八个相减，余一个为法；多一个、少十六个相加，共十七个为实。法除实，为人数。这账‘一’为法，一归不须归，十七便是人数。以十七乘七个，得一百一十九个，加一个，是一百二十个。乃十七人分一百二十果。”
按司徒娬儿的“盈朒算法”求解，按第一种方案分总共多1个果子、按第二种方案一共少16个果子，两种方案共相差1 16=17个；在这两种不同分法中，每个人有8-7=1个的出入.那么要有多少人才会有17个果子的出入呢？两种方案相差总数除以两种方案中每个人分得果子的相差数，就是分果的人数. （人），17便是人数.根据第一种分配方案：（个），119 1=120（个）.原来是17人分120个果子.
古人把这种解法概括为一首歌诀：“算家欲知盈不足，两家互乘并为物，并盈不足为人实，分率相减余为法，法除物实为物价，法除人实人数目.”这首歌诀用今天的话说，则可概括为一个公式：（盈数 亏数）÷两种方案分配差=参与分配对象数.再根据参与分配对象数进一步算出被分配物品数.
当然用现在的代数方法很容易理解.
设x人分这盘鲜果，则7x 1=8x-16，解得x=17. 从而7x 1=120.
所以17个人分120个鲜果.
例2第七十九回，青钿指面前圆桌道：“请教姐姐，这桌周围几尺？”兰芬同宝云要了一管尺，将对过一量，三尺二寸。取笔画了一个“铺地锦”（图1）：
画毕道：“此桌周围一丈○○四分八。”春辉看了道：“闻得古法‘径一周三’，是么？”兰芬道：“古法不准。今定‘径一周三一四一五九二六五’，甚精。只用‘三一四’三个大数算的。”春辉道：“若将此桌改做方桌，可得多长、多宽？”兰芬道：“此用圆内容方算，每边二尺二寸六分。”
图1的“铺地锦”，实质就是图2的现代竖式乘法。从图中可以看出，“铺地锦”是在一个大的长方形里面，画了些纵横格子线，还画了连结方格对角的斜线，形状有点儿像铺在房间里的地毯，所以形象地叫做“铺地锦”。对比“铺地锦”和竖式乘法，发现实际内容几乎完全一致。竖式中的被乘数和乘数，在“铺地锦”图里，分别写在大长方形边框的右边和上边。大长方形的4条边中，右边的和上面的两条，相当于乘法竖式里的第一道横线。在竖式里，先暂时撇开小数点不管，用乘数的各位数字2和3分别去乘被乘数314，得到的628和942，两次乘得的数各占一行。所得的两行，错开右面一位，然后上下对齐相加。在“铺地锦”图中，大长方形里面竖的两排格子，自上而下，顺次写着用乘数的每一位去乘被乘数的每一位，得到的6、2、8和9、3、12，这些数字与数字的乘积，每个数字各占一格（进位的数字写在相邻的右上格）。所乘得的这些格子里的数字，纵横对齐排列，把每条对角斜线的全部数字相加，加得的和写在长方形外面。
在“铺地锦”里，左边竖排3格斜线上面的3个“一”，实际是乘或者加时进位进上来的“1”。竖式里的最后得数10.048，在“铺地锦”图里，是在大长方形边框的左边和下面，从左上往下，再往右（即从左上角按逆时针循序），连起来读。大长方形的左面一条边和下面一条边，相当于竖式的第二条横线。画完了“铺地锦”图，相当于写完了乘法竖式。
也就是说，这个圆桌半径是1.6尺，取圆周率为3.14，求得周长为10.048尺。要将它改成方桌，即这个圆的内接正方形，边长为尺。这一步兰芬没有说出过程。
例3第七十九回，宝云指桌上一套金杯道：“此杯大小九个，我用金一百二十六两打的，姊姊能算大小各重多少么？”兰芬道：“此是‘差分法’。法当用九个加一个是十个，九与十相乘，共是九十个，折半四十五个，作四十五分算；用‘四归五除’除一百二十六两，得二两八钱，此第九小杯，其重如此。”因从丫鬟带的小算袋内取出二、八两筹摆下，用笔开出，大杯重二十五两二钱、次重二十二两四钱、三重十九两六钱、四重十六两八钱、五重十四两、六重十一两二钱、七重八两四钱、八重五两六钱。宝云看那两筹，只见写着：
二筹│①①①①①○○○○│
│⑧⑥④②○⑧⑥④②│
八筹│⑦⑥⑤④④③②①○│
│②④⑥⑧○②④⑥⑧│
宝云道：“据这二筹，自然是一二如二，至二九一十八；那八筹是一八如八，至八九七十二了。但姊姊何以一望就知各杯轻重呢？”兰芬道：“刚才我用四归五除，得了小杯二两八钱数目，所以将二、八两筹一看就知了。你看第一行‘二八’两字，岂非末尾小杯斤重么？第九行‘二五二’就是头一个大杯。其余七杯计重若干，都明明白白写在上面。”宝云道：“第九行是‘一八七二’，怎么说是‘二五二’呢？”兰芬道：“凡两半圈上下相合，仍算一圈，即如第九行中间‘八七’二字，凑起来是‘一五’之数，把‘一’归在上面一圈，岂非‘二五二’么。”宝云点头道：“我见算书中差分法，有递减，倍减、三七、四六等名，纷纷不一，何能及得这个明白了当。筹算之精，即此可见。”
看不懂吧，用现代汉语就是：
宝云指桌上一套金杯对各位才女说道：“此杯大小一共9个，我用了126两金子请工匠打造的，这些杯子的重量按由小到大顺序成倍递增。姐姐能算出杯子大小各重多少么？”
兰芬道：“这是‘差分法’。方法是用9个加1个是10个，9与10相乘，共是90个，折半45个，作45份算；用126÷45=2.8（两），就是二两八钱（1两=10钱），此第九小杯，其重如此。”随即从丫环带的小算袋内取出两个算筹摆下，用笔写出，大杯重二十五两二钱、第二个杯子重二十二两四钱、第三个杯子重十九两六钱、第四个杯子重十六两八钱、第五个北重十四两、第六个杯子重十一两二钱、第七个杯子重八两四钱、第八个杯子重五两六钱。
宝云看了，很觉惊奇，问道：“姐姐何以一望就知各杯轻重呢？”
其实米兰芬这样想的：这9个杯子的重量是成倍递增的，那么它们的重量恰好是一个等差数列。她把小杯子的重量看着a，其它8只杯子的重量分别是2a,3a,4a,...,8a,9a。9个杯子重量一共是
宝云命人拿秤一称，果然不错。
兰芬的等差数列求和，求通项，与现在的方法一模一样。
例4第七十九回，唐闺臣指花盆所摆红白玛瑙两块道：“此可算么？”兰芬道：“如知长短，就可算出斤重。”取尺一量，对方三寸，算一算道：“红的五十九两四钱，白的六十二两一钱。”
宝云命人拿比子一秤，果然不错。闺臣道：“一样玛瑙，为何两样斤重？”兰芬道：“白的方一寸重二两三钱；红的方一寸重二两二钱，今对方三寸，照立方积二十七寸算的。凡物之轻重，各有不同，如白银方一寸重九两，红铜方一寸重七两五钱，白铜一寸重六两九钱八分，黄铜一寸只重六两八钱。”闺臣点头道：“原来如此。”
这里描述的是正方体的体积，比重和重量的关系。把闺臣的算法用表格表示为
例5第七十九回，说话间，阴云满天，雷声四起。兰芝道：“莫要落雨把今晚的灯闹掉，就白费宝云姊姊一片心了。”兰芬道：“如落几点，雨后看灯，似更清妙。”说着，雨已大至，一闪亮过，又是一个响雷。唐闺臣道：“算家往往说大话，偷天换日，只怕未必。”兰芬道：“此是诳话。但这雷声倒可算知里数。”闺臣道：“怎样算法？”兰芬指桌上自鸣钟道：“只看秒针，就好算了。”登时打了一闪，少刻又是一雷。玉芝道：“闪后十五秒闻雷，姐姐算罢。”兰芬算一算道：“定例一秒工夫，雷声走一百二十八丈五尺七寸。照此计算，刚才这雷应离此地十里零一百二十八丈。”唐闺臣道：“此雷既离十里之外，还如此大声，只怕是个‘霹雷’。”毕全贞道：“雷都算出几丈几里，这话未免欺人了。”
这里描述的利用声音的速度求距离。雷声每秒速度是128.57丈，闪后15秒闻雷，即雷声走了15秒，距离为（丈）=6428.5（米）（里）。
例6第九十三回，宝云道：“楼上灯有两种：一种上做三大球，下缀六小球，计大小球九个为一灯；一种上做三大球，下缀十八小球，计大小球二十一个为一灯。至楼下灯也是两种：一种一大球，下缀二小球；一种一大球，下缀四小球。”宝云命人查了：楼上大灯球共三百九十六，小灯球共一千四百四十；楼下大灯球共三百六十，小灯球共一千二百。兰芬道：“以楼下而论：将小灯球一千二百折半为六百，以大球三百六十减之，余二百四十，是四小球灯二百四十盏；于三百六十内除二百四十，余一百二十，是二小球灯一百二十盏。此用‘雉兔同笼’算法，似无舛错。至楼上之灯，先将一千四百四十折半为七百二十，以大球三百九十六减之，余三百二十四，用六归：六三添作五，六二三十二，逢六进一十，得五十四，是缀十八小球灯五十四盏；以三乘五四，得一百六十二，减大球三百九十六，余二百三十四，以三归之，得七十八，是缀六小球灯数目。”宝云命玉儿把做灯单子念来，丝毫不错。大家莫不称为神算。
用现代文理解就是，楼上的灯有两种：一种上有3个大球，下缀6个小球，大小球9个为一盏；另一种上有3个大球，下缀18个小球，大小球21个为1盏；大球共396个，小球共1440个。楼下的灯也分两种：一种是上有1个大球，下缀2个小球；另一种是上有1个大球，下缀4个小球；大球共360个，小球共1200个。要计算楼上、楼下不同型号球灯各有多少盏。
兰芬的解答是，用解“鸡兔同笼“的方法解。以楼下灯为例：将小灯球数1200折半得600，减去大灯球数360，即得缀四个小灯球的灯数为240，用360减240得120，即得缀二个小灯球的灯数为120。至于楼上灯，先将1440折半为720，减去大球396，得324，除以6，得缀十八小球灯有54盏；用3乘以54，得162，396减去162得234，再除以3，得到缀六小球的灯有78盏。
其实“鸡兔问题”源于《孙子算经》。据说编写《孙子算经》的孙子，年轻时到一位朋友家中去作客，看到朋友家养了不少鸡、兔，随口问道：“您家养了多少只鸡和兔？”朋友回答说：“鸡、兔共35只，脚数共94只，请先生算一下，鸡、兔各有多少只？”孙子听了很感兴趣，几经思考，终于找出了答案。
孙子的解法是，先假定让鸡“金鸡独立”（一只脚着地），兔“玉兔拜月”（前脚抬起，后面两只脚着地），就是说鸡和兔各砍去脚数的一半，即它们的总脚数只有94÷2=47(只)，这时鸡的头数和脚数相等，而每头兔和脚数相差1。于是现在总头数与总脚数相差47-35=12(只)。显然，这12就是兔的只数。因此鸡是35-12=23(只)。
当然用现代的代数法列方程组解，快捷又容易理解。
可见，我国古代的数学还是很厉害的，而且还深入人心，连足不出户的女才子都运用自如。只是没有引用现代的记数法和方程，让现代人读起来费劲，理解起来困难。
已发文章>>
