我们来聊一聊无限循环小数0.999…与整数1之间的大小关系。我想，一看到这个问题，大多数人会不假思索地认为：0.999…<1，那么究竟小多少呢？可能你一时半会儿还真说不清楚。其实， 0.999…=1。

看到这个结论，你是不是就要反驳了，尽管0.999…无限接近于1，但无论如何依然小于1，怎么可能相等呢。为了验证这个结论是正确的，下面，我将通过几种不同的方法分别来证明。

反证法

我们先用反证法来论证。

假设0.999…不等于1，那么它们之间肯定存在一个差。也就是说如果进行计算：1-0.999…，我们肯定能得到一个确定的答案。

那么答案是多少呢？我们可以确定的是，答案肯定比0.1小，当然也比0.01、0.001小。可无论1前面有多少个0，答案都要比它小。但是我们不能不限地在1前面放0，因为我们不知道究竟要放多少个0，所以我们得不到一个确定的值。这就与我们假设的“0.999…与1之间肯定存在一个差”相矛盾。也就是说，0.999…等于1。

是不是有些似懂非懂的感觉呢？没关系，我们再来看看第二种论证方法。相信听了这个方法，你一定会茅塞顿开。

方程法

通常我们在没有思路的情况下，总是想到用 “万能的方程法”来“救场”。因此，这里我们也用方程来试试看。

由于不知道0.999…究竟是多少，我们假设它为x.即x=0.999…。给两边同时扩大10倍，可以得到等式10x=9.999…，而9.999…是由整数部分9和小数部分0.999…相加的结果，因此我们就可以将10x=9.999…表示为：

10x=9 0.999…

接着用x来替换0.999…，就可以得到这样一个方程：

10x=9 x

通过解这个方程，我们可以得到x=1，也就是0.999…等于1。

不知道你发现了没有，通过上面的证明，我们不但确定了0.999…等于1这个结论的正确性，还清楚地知道了将无限循环小数表示为确定数值的具体方法。

其实，所有的无限循环小数都是有理数，而有理数都可以用方程法写成分数的形式。因此，无限循环小数都可以用分数的形式表示出来。

算术法

如果说你只想知道0.999…是否等于1，对方程并不是那么“感冒”，那么，不妨再看看下面的论证方法。

想必你非常熟悉1/3是无限循环小数0.333…的分数形式，如果用等式来表示，就是：

1/3=0.333…

根据等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。因此，我们给等式两边同时乘3，这样就可以得到

1/3×3=0.333…×3

通过计算，等式就变化为:

1=0.999…

这就说明0.999…是等于1的。

当然，除了运用等式的基本性质，运用加法运算也可以得到这一结论。因为1/3=0.333…， 2/3=0.666…，所以

1/3 2/3=0.333… 0.666…

即0.999…=1。

由此看来，大多人会产生0.999…<1的错觉，说到底是对无限循环小数的概念缺乏本质的认识：所有的无限循环小数，均属于有理数范畴，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。

最后，请你思考一个问题：你能将0.777…用分数的形式表示出来吗？欢迎你在评论区留言互动，分享你的看法。