引言

在计算机中，浮点数和定点数是常用的数值表示方法，用于处理和表示实数（包括小数）的数值。它们在计算机中具有不同的特点和应用场景。浮点数广泛应用于科学计算、金融计算等需要大范围和高精度的任务中。然而，浮点数在表示和计算过程中存在精度等问题。在接下来的介绍中，我们将探讨浮点数的内部表示、常见问题以及处理这些问题常用的解决方案。此外，本文还总结了一些通用的浮点数测试用例，希望可以帮助大家更好地理解和验证浮点数的精度特性。希望通过阅读本文，大家能对浮点数有更清晰的认识和应用。

浮点数的表示

浮点数在计算机内部表示中，小数点的位置是可变的，也就是说，小数点可以"浮动"在有效数字中的任意位置，因此得名。那么，在计算机表示中，它的小数点数如何“浮动”的呢，一起来看看浮点数是如何表示的。

最常用的浮点数表示方法是IEEE754，它是一种计算机浮点数算术标准，定义了浮点数的表示方法和浮点数运算规则。IEEE754标准规定了两种浮点数格式：单精度浮点数（32位）和双精度浮点数（64位），分别用于表示单精度和双精度实数。

十进制转二进制

首先，我们要知道常用的十进制，在二进制的计算机世界中是怎样的。

十进制的正数部分和小数部分转换为二进制的方法是不一样的，十进制整数转二进制使用的是除2取余数法，十进制小数转二进制用的是乘2取整法。

我们举例说明一下，以十进制数8.625为例：

◆整数部分：将整数部分8转化为二进制，可以使用除2取余数法：

8除以2，商为4，余数为0，

将商4再次除以2，商为2，余数为0

将商2再次除以2，商为1，余数为0

将商1再次除以2，商为0，余数为1。

将以上得到的余数按倒序连接起来，得到整数部分的二进制表示为：1000

◆小数部分：将小数部分0.625转化为二进制，可以使用乘2取整法：

0.625 * 2 = 1.25，整数部分为1

剩余小数部分为0.25。0.25 * 2 = 0.5，整数部分为0

剩余小数部分为0.5。0.5 * 2 = 1.0，整数部分为1

剩余小数部分为0。

将以上得到的整数部分按顺序连接起来，得到小数部分的二进制表示为：101

综上，8.625的二进制表示为：1000.101

单精度浮点数

在IEEE 754 中单精度浮点数（32位）被拆成三个部分，分别是sign、exponent 跟fraction，加起来总共是32 个bit。下面以浮点数0.15625为例，看一下单精度浮点数的表示。

首先，需要将0.15625转化为二进制表示为0.00101，其规格化（类似于十进制科学计数法）表示为1.01 x 2^(-3)。

在分别看一下单精度浮点数三个部分的内容：

sign：即符号位，最左侧的1 bit 代表正负号，正数的话sign 就为0，反之则是 1

exponent：即阶码，中间的8 bit 代表规格化后的次方数，采用的是 超127格式，也就是-3 还要加上127 = 124，转化为二进制为1111100；整数前面补零不会影响整数的值，则不足8位时在前面补零，即为01111100。

fraction：即尾数，最右侧的23 bit 放的是小数部分，以1.01 来说就是去掉1. 之后的01。小数后面补零不影响小数的值，则尾数位不足23位在后面补零, 即为01000000000000000000000。

十进制数0.15625表示成单精度浮点数就如下图所示：

双精度浮点数

单精度浮点数只用了32 bit 来表示，为了让误差更小，提高精准度，IEEE 754 也定义了如何用64 bit 来表示浮点数，即双精度浮点数。跟32 bit 比起来尾数 部分大了超过两倍，从23 bit 变成52 bit，对比如下图所示：