一．概念描述
现代数学：分数的定义一般有以下四种：
①把一个单位平均分之后的一份或几份；
②两个数相除的商；
③两数之比；
④公理化定义。
在整数的有序对(p，q)（q≠0）的集合上定义如下等价关系：
设p1,p2∈Z，q1，q2∈Z\{0}。如果p1q2=p2q1，则称(p1,q1)~(p2,q2),Z×(Z\{0})。这个等价关系的等价类称为有理数。(p，q)所属的有理数记为p/q。
令整数p对应于(p，1)所属的等价类，即对应于p/1，就能把整数集嵌入有理数集中。习惯上p/1仍记为p。在有理数集中，整数以外的数称为分数。
从数学的观点看，第二个定义“两个数相除的商”体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。
小学数学：小学数学教材一般认为，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫作分数。这个定义与“分数”在现代数学中的第四个定义是基本上一致的。在小学数学中给出的分数定义实质上是正有理数导的定义，其巾q≥2。
二．概念解读
分数是在实际度量和物品均分中产生的。在度量和均分时，往往会出现下面的情况：
用一个做标准的量（度量单位）去度量另一个量，只有若干次后当量正好量尽时，才可以用一个整数来表示度量的结果。如果若干次后不能正好量尽，例如，用b做标准去量a，有两种情况---一种情况是把b分成n等份，用其中的一份作为新的度量单位去度量a，量m次正好量尽，就表示a含有把b分成n等份以后的m个等份。在这种情况下，不能用一个整数表示用b去度量a的结果，就产生了引进一种新数的需要。还有一种情况，就是无论把b分成几等份，用其中的一份作为新的度量a，都不能恰好量尽（如用圆的直径去量同一圆的周长）。这种情况下，也需要引进一种新的数（不过这种想法是后来才出现的）。
由上而得，在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商。在结果唯一的前提下，为了保证除法运算通行无阻，的确需要引进一种新的数，这样分数便应运而生。
分数的产生经历了一个漫长而艰辛的过程。开始时，将物体一分为二，于是产生了原始的分数概念，或者叫作分数概念的萌芽，这也几乎是世界各民族分数概念的共同渊源。在此以后，才逐渐出现了三分之一、三分之二等简单的分数。
除法运算为分数概念的数学化铺平了道路。我国古代用算筹来做除法运算。由于筹算制度没有运算符号和等号，运算就表示为等式变换，筹式表示除法，也就相当于分数。当遇到除不尽时，古人就把余数作为分子，除数作为分母，于是产生了分子在上，分母在下的分数筹算形式。英同著名科学出家李约瑟曾风趣地说：“用‘儿子’表示分子和用‘母亲’表示分母是很有启发意义的，它表明古人所想的真分数，即下面的数（指分母）比上面的大（就像*一样），性（阴和阳）的差别使他们想到，乘一个数与除另一个数的作用是等效的。”
1175年，阿拉伯数学家阿尔·哈萨创造性地在分子、分母之间添加了一条横线，分数线由此诞生了，而且形象地表示了“分”的含义。真正最早使用斜的分数线的是1845年，英国数学家德摩根。“分数”的表示形式，经过历史洪流的冲刷，就成为现在这两种样子了。
三．教学建议
①分数的意义非常丰富，可以从以下两条主线和四个维度来理解（如下图）：
正因为分数有非常丰富的意义，所以在分数教学中，仁者见仁，智者见智。有的老师从平均分，除法入手，如刘劲苓老师从除法人手---她首先出示一个大大的除号，问学生：“你看到了什么？想到了什么？”这个符号一下子把学生的思维调动起来，学生纷纷举手回答问题。刘老师及时捕捉学生的信息“除法”、“平均分”，随即出示“把100张纸，平均分给2个小朋友，每个小朋友得到几张？”，引导学生列式100÷2= 50（张）；接着出示“把10张纸，平均分给2个小朋友，每个小朋友得到几张？”，引导学生列式10÷2=5（张）；最后出示“把l张纸，平均分给2个小朋友，每个小朋友得到几张？”，引导学生列式l÷2。刘老师问结果是多少，有的学生说“一半”，有的说“0.5”，有的说“1/2”。因为除法本身就是平均分，这样当1÷2得不到整数结果时，分数也就应运而生了，从而帮助学生一步一步建立÷这个分数的概念。还有的老师选择从测量入手，如华应龙老师，创设了“用领带当尺子测量沙发”的教学情境（详见《小学数学教师》2011年第4期）。其实，不论选用什么方法，都要依据本班学生的数学基础，因为适合学生的就是最好的。
②“认识分数”是学生对数域的第一次拓展，也是认识上的一次重要飞跃，所以对分数的完整认识不是一节课就能解决的。教材一般分为两个阶段：第一学段为初步认识分数，重在理解、感悟；第二阶段为进一步学习而建立分数的基本概念。实际上，充分理解分数意义的内涵，在小学阶段大体要分成五个阶段：孕伏阶段（认识平均分）、明确阶段（初步认识）、再认识阶段（分数的意义）、沟通阶段（分数与除法关系）、综合应用阶段（分数的运算及解决问题），所以对于“分数”的教学需要系统思考、逐步渗透、多维度建立，真正落实对分数理解的深刻性，达到预期的教学目标。
四．推荐阅读
（1)《小学数学课堂的有效教学》(刘加霞，北京师范大学出版社，2008)
该书的第一编第二章主要论述了对分数的多维多元的理解。
(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）
该书的第四章主要从数系的拓展到分数的定义及相应知识进行了非常详细的论述。
