有趣的奥数题目《页码问题》，你学过吗？一节课学会经典奥数题目。
页码，指的是书籍每一页上的编号。因为以前书籍上的所有文字、数字及标点都是利用“铅字”一个一个“排”出来的，所以，页码问题又被人们称为“页码与铅字”问题。
下面我们先来看两道基本的页码问题。
难题点拨①
一本书共380页，印刷厂的排版工人编排这本书，仅页码一共要用多少个铅字?
解题分析：解答这道题目，首先必须了解页码与所用铅字个数的特殊联系。它们的联系是：一本书的第1页到第9页，每页都只用一个铅字做页码；从第10页起到第99页，每页要用2个铅字页码；从第100页起到第999页，每页则要用3个铅字来编页码……掌握了以上规律，再来解答这道题目就不困难了，具体应采用“分段统计”法：
1.1～9页共用铅字，1x9＝9(个)
2.10～99页共用铅字，2×(99－9)＝180(个);
3.100～380页共用铅字，3×(380-99)＝843(个)
累计铅字个数：
9 180 843＝1032(个)
答:这本书的页码共用铅字1032个。
难题点拨②
排版工人给一本书编排页码，一共用去942个数字(铅字)，这本书有多少页?
解题分析：此题与例1说的同为一个问题。只不过是观察问题的角度不同。因此，解答这道题目应当采用“分段排除”法，思考过如下：
先从所有铅字的总数中“去掉”1页至9页的9个铅字；再又“去掉”第10至第99页(共90页)的180个铅字；剩下的就是每页3个铅字的铅字总数(根据题目中的铅字总数，可以推测这本书的总页数不会超过999页)。由此求出“每页3个铅字”的页数，全书的总页数就同时算出来了。列式为：
(942－9－180)÷3 9 90
＝251 9 90
＝350(页)
答：这本书共350页。
不难看出，这两道最基本的“页码问题”的解题思路是完全一致的：它们都要抓住页码字数的“分段”特征来进行推算。
下面我们再来看一个例题:
难题点拨③
一本书共500页，编上页码：1、2、3、4…499、500。问数字“2”在页码中一共出现了多少次?
解题分析：这道题目看上去好像不太复杂。例如，在2、25和52这些数中“2”分别出现一次；在22、242中又分别出现两次；而在222中，它出现了三次。但像这样盲目地去东找一个、西找一个，仍然是非常困难的。
因此，解答这道题目的最佳方法是把1～500按一百、一百地分为五段，并且按数位来进行统计(见下表)
答：在页码中，2共出现200次
像这样分段、分数位地列表统计，既节省时间，又不会遗漏或重复，的确是又快又好。
“页码问题”同其他类型的问题一样，也有不少有趣的变化，而且这些变化题的解法大都十分特殊而又巧妙。下面就给同学们作一些介绍。
难题点拨④
有一本书的中间被撕掉了一张，余下各页的页码数之和正好是1145。那么，被撕掉的那一张的页码数是什么?
解题分析：这个题目应采用“估算法”来解答。
我们先假设这本书原来有60页，用“高斯算法”可以求出所有页码数的总和：(1 60)x60÷2＝1830。这时，我们就发现“估值”过大了，因为，哪怕我们“撕”掉这本书的最后几张(页码数最大的几张)，剩下的页码之和也比“1145”大。再假设这本书有40页，其页码之和为：(1 40)×40÷2＝820。这又估值过小，因为，哪怕是一张不“撕”，页码之和也不足“1145”。像这样反复多次地试探、调整，就可发现这本书为48页，其页码之和为:(1 48)x48÷2＝1176。
最后还应注意：撕掉的一张有顺、反两页，其页码即为15和16(1176－1145＝31＝15 16)。
答：撕掉的那一张的页码为15和16。
难题点拨⑤
小华翻开数学课本，看了看这两页的页码数，发现它们的积是2970。你知道这两个页码数各是多少吗?
解题分析：这道题目有两种巧妙的解法。
解法一:估算法
我们首先必须了解这样的一个事实情况：我们随手翻开一本书，看到的左、右两个页码一定是两个连续的自然数，而且一定是偶数在先，奇数在后的连续自然数。题目告诉我们，这两个页码数的乘积是“2970”，即可估计出这两个页码数在50至60之间。
因为：40×40＝1600(明显小于2970);
60×60＝3600(又大于2970);
50×50＝2500(最接近2970)。
又因为两个页码乘积的个位是“0”，所以符合本题页码条件(偶数在前，比它大1的奇数在后)的两个数可能为50和51、54和55。
再通过简单的验证，即可知这两个页码数为54和55:
54×55=2970
解法二:分解法。
因为“2970”是两个连续自然数的乘积，我们就很快想到把它分解质因数：
再把这六个分解出来的质因数分成两组，要使这两组的乘积符合题目中两个页码数的特征，即：偶数在前，比它大1的奇数在后。显然，它们只能分为:
2×3x3x3=54
5×11＝55。
答：小华看到的页码数是54和55。
难题点拨⑥
有一个数:12345678910111213……997998999，即各个数字是顺次从1至999。试求，第666个数字是几?第1999个数字是几？
解题分析：这道题的确是一道难度很大的问题，解答它必须运用“分段排除”法：从1至9共用9个数；从10至99有90个“两位数”共用180个数字。剩下的就由三位数组成的了。
(666－1×9－2x90)÷3
=477÷3
=159
由以上算式可知，这第666个数字恰好是从“100”开始算起的第159个三位数的个位上的那个数字。“100”是第1个三位数；第2个三位数是“101”；第3个三位数是“102”……以此类推，第159个三位数应为“258”。即可知，第6个数字是“8”。
至于推算第1999个数字是几，同样先列式：
(1999－1×9－2×90)÷3
=1810÷3
=603……1
由此可知，第1999个数字是从“100”开始的第603个三位数后边挨着的一个数字(或是从“100”开始算起的第604个三位数的百位上的数字)。因为第603个三位数是“702”，第604个三位数是“703”，所以，第1999个数字是“7”。
答：这个数的第666个数字是8；第19个数字是7。
这节课的内容就到这里，我是小梁老师，我们下节课见！
