与去年11月及今年6月的两次留考相比，整体难度上有大幅下降，题目出得中规中矩，个别题目曾是已公开的海外卷的类型题，但有一些小细节稍不注意就会使得同学们落入出题人设下的“陷阱”。以下就各道题目的特征与考点进行分析。

第一大题-问1：二次函数的最值问题

已知过给定两点，开口向上的二次函数，求该函数从x轴截得的线段长的最小值。由于该函数过已知的两点，所以势必要将已知两点代入函数解析式（一般形），在得到字母c和b的值或表达式后进而便可以将二次函数的解析式化成只含有一个未知参数a的解析式。随后顶点的横纵坐标也可以由a来表示。本题比较新颖的点在于将该线段长的平方（）当成了一个关于的二次函数，换元之后来求最小值为何。但是题目的引导非常详细，而且我们也常在课堂中给同学们强调研究某某的“最值”问题通常都是要将其当成函数（尤其是二次函数）来去求最值，算是中等略简单的一道二次函数题目。本题的一个易错点在于，题目描述中对开口方向的描述不是通过而是通过“下に凸”来刻画的。这是由于中日两国对抛物线开口方向描述的不同，中文关注的是开口向哪儿，而日语中的描述是关注“凸”起的方向的。这也是在授课过程中，我们特别向同学们辨析过的中日数学大不同。

第二大题-问2：动点的所在位置概率问题

已知一个动点有三种移动方式，出现每种移动方式的概率都是相同的。分别求动点在3s后，4s后到达指定位置的概率，以及4s后首次到达该指定位置的概率为何。这道概率题目所用的问题背景同学们应该十分熟悉，我们在各套讲义中都摘录了该问题。唯独不同之处在于，讲义中的题目只指定了向正方向和负方向移动的两种规则，而考题中还有额外的一个不移动的规则。突破这个考题同学们可以按照“不移动”的出现次数进行分类，这样转化成我们在课堂上已经解决过的问题来处理。

第二大题-问1：有关平方根的数与式问题

本题以平方根的性质，计算，化简作为出题点。这部分知识内容在国内是初一学习的，与其他领域相比是较为容易的知识点，但是也是很容易被同学们忽略的一部分内容。突破点在于我们要由题干给出的和的关系，通过等号左右同时平方得到和的关系，进而代入代一下各个多项式中去运算。此外，我们在日常课程中也有所强调的“根号底下的数或式是非负数”，“”等要点也是同学们解决本题所不可少的知识储备。

第二大题-问2：二次不等式的解

首先应该注意到原不等式的左边是可以十字相乘因式分解的，分解之后的两根由于不能确认大小所以要开始分类讨论。分类讨论一直是教学中的重点，二次函数最值问题，去根号问题，还有本题中的二次不等式解集的问题中都是重中之重。最后求刚好有三个整数解时需要同学们数形结合画出数轴，按照数轴所示列出a的存在范围列不等式，考虑端点能否取等即可。

第三大题：整数的性质

（1）主要问到了通过素因数分解法观察出两数的最大公约数和最小公倍数，某数正约数的个数，正约数中具有某些特点的数的个数，突破点都是在观察某些素因数的出现与否。比方说问约数中偶数的个数的话，我们只需要考虑具有素因数的正约数的个数有多少个即可。

（2）是一个将未知整数数写成分式的形式，通过约数和倍数的思考策略来求解的不定方程式。在计算上的难度较小，但有j和k的关系，代回到x和y中求出用k表示的x，y一般解的一步是同学们容易反应不过来的，可能会有不少同学卡在了最后一步。

第四大题：图形

看到图示是一个立体几何，不少同学可能就已经开始望而却步了，但仔细阅读一下题目的话，本题甚至没有考查到任何一个关于立体几何的点线面关系。相信各位同学应该还记得课堂上曾经做过一道题目是“沿圆锥表面走一圈的最短路径是多少”，对于空间中的这类问题我们是拿到平面中去看待的，所以我们也要把放在一个平面上，也就是它们要位于同一条直线段上的情形，注意到这点后，我们要把直方体的顶面翻折起来。

（2）就是同学们在平面几何中常见的余弦定理和面积比问题了。对于大多数同学们来说，这道图形题的难点在于找到第一问的突破点和最后几空的面积比，但很多同学反馈说前面时间不够以至于没来得及看图形大题，或是看到图是立体几何就放弃了，非常令人惋惜。

总体来讲，考试是对大家心态和知识水平的一种综合考量，我们要在心态上藐视它，但是在行动上重视它。相信努力过的同学们也应有所体会，数学学习的过程中应讲究触类旁通、融会贯通、碰到新的题目能够调用已经具有的知识储备来解决，注重方法的总结。期待同学们在日后的学习生活中愈发熠熠生辉。

时间不充足，计算有难度，总是怀疑自己算错了。整数的问题难。

本次考试中出现的大多数考题在平日课堂中都讲过，概率、二次函数和整数的性质领域甚至出现过相似度90%的原题，类型题也练过多次。解题策略上也可以。

平时授课注重了解题思路的全面分析，做题技巧的传授，并经常和学生传达卡住的话要从问题之间找到联系，时常回到题干中找启发的想法。具体层面上，概率（点移动），整数的性质(最大公约数·最小公倍数的求法，不定方程组的解法，整数的成立条件)，都是在讲义中出现过的，甚至相似度高达90%的题目。

立体几何部分应加强指导。

6.本次留考中，有没有令我们老师们也印象深刻的题目？

与以往的“多管齐下”策略不同，本次考试题目中设置了很多带有唯一突破点的题目。例如，数与式的首问由平方之后作为b的值代入新的根号，图形的首问BQ的长度通过全等或翻折直方体顶面等这些个突破点如果没能想明白的话，后面的题就无法进行了。

7.本次留考中，较难题目与扣分较大题目？

在以往考试中，得分期待比较高的数与式问题，本次出其不意地考查大家对平方根的理解程度，后面又有一些关于式的计算，去掉绝对值的操作。看起来很常规，但在运算上不小心地话很容易出错。

关

西

考

场

【难度分析】

关西考卷是B卷。总体来看，这次留考文科数学的考题难度一般，比今年的六月份和去年11月份稍微简单一些。每个题目开始的几个空都有熟悉的感觉。但是，想达到百分之百完成的话，还是要基础很扎实才行。

【考题回顾】

第1题：惯例的二次函数题，这道题还是出自考点“最值的求法”，而且是考察的是不用分情况讨论的二次函数的最值。这道题的难点是要看懂题目的新出现的字母的意思。这道题一开始用二次函数的一般式写出函数方程，下一步要用到该二次函数与x轴的截取线段的长度。常规做法一是用二次方程的求根公式求得点的坐标，然后相减。常规做法二是用韦达定理，推出两根差得表示，但是这道题不是这个思路，他直接用对称轴和参数来表示交点，从而推出两点间的距离和判别式的关系，如果学生看不懂题目的话后一半就会做的不顺。以后的教学中，要多多灌输读题的重要，对于参数字母比较多的问题的处理方法。

第2题：概率题，难度偏简单。比平时练习的概率还要简单一些。这次考试的概率使用的方法就是概率的定义。但是其中容易错的地方就是漏情况，这次的模型是游戏走格子的模型，比平时多一种不动。考察学生分析问题的全面性，和六月官方公布的留考题的考试出题思路是一样的。

第3题：数与式章节的出题。这个题比六月的对应的题要难一点。有根号，而且字母有点多。开始的时候把b字母代换然后要代换几次才能得到想要求解的式子。学生要是读懂题，按照提示做的话，应该不难。

第4题：二次函数的第二题。这次考察的是带参数的二次不等式的求法。这个题在我的讲义中有一样的题型，多次提醒学生总结分情况讨论的题型。强调留考一定会有分情况讨论的问题。所以这道题基本就背猜中了。而且这次的分情况也不是很多，就三种。所以难度不大。

第5题：整数的性质。这个题目比六月的题目简单。至少前三分之一的部分还是常见的题型。约数的个数的统计方法。这个题目我在讲解的新课和复习的过程中都会讲约数问题的推导。要是学生仔细想了为什么的话应该能做出来。如果只是记公式的话，学生应该就很难做到最后了。所以这个题应该是整套试卷中大家反应最难的题目了。这几次考试都是整数的额性质的题，学生正达率最低，所以以后对于要冲刺满分的同学和班级，在这一块还要再加强。

第6题：图形。这次考得是立体几何。在上课的时候经常有学生问，会不会考立体几何，我说历史上考过四面体，长方体，圆锥。所以考了不算超纲。在复习的时候也给他们讲过立体几何的练习。但是这道题大家也反应做的不好。这个意料之中，因为很多同学的立体感比较弱，看不出面和线的关系。但是这道题的解答主要还是化立体为平面，没有想象得那么难。

【感想与思考】

本次留考比今年的六月份和去年11月份稍微简单一些。部分题型我们上课讲过完全类似的题目。在下一次的留考指导中，对多个参数字母的问题要多加练习，提高大家对于复杂问题的解决能力。每一年的留考都会设置两个难点，预计明年的考题估计还是在“整数的性质”的部分出难题。

理科数学