众所周知，微积分是现代科学的基础。正是有了微积分之后，我们才有了研究万物变化的数学工具。举个最简单的例子：位移对时间的一阶导数代表位移的变化率，也就是速度;位移对时间的二阶导数代表速度的变化率，即加速度;等等。反过来，加速度对时间的一阶积分是速度，二阶积分是位移。

但是，不知你注意到了没有：不论求导也好，积分也好，传统的微积分都是整数阶的，有没有分数阶的呢?譬如，能不能对位移求1/2阶导数呢?

事实上，早在300多年前就有人向微积分的发明人之一(另一位发明人是牛顿)德国数学家莱布尼兹请教过这个问题。当时，可把这位数学大师问哑了。是啊，分数阶导数是什么意思呢?又该怎么去操作呢?这真是难以想象。

然而，今天，数学家对此问题不仅给出了肯定的回答，还发展出一门在现实中有着广泛应用的新的数学分支——分数微积分。

如何对函数进行分数阶求导?

我相信，当你读到这里，一定急于知道分数阶的微分和积分是如何操作的。让我们先来看一个简单的幂函数f'(x)=xⁿ，其中n为整数。

我们知道，对它进行一阶求导，有f'(x)=nx^n-1，对它进行二阶求导，有f''(x)=n(n-1)X^n-2，以此类推，对它进行k阶求导，有

其中n!=1×2×3×……×n。

为方便起见，我们定义一个Γ函数，Γ(m)=(m-1)!

这样，上面式子可改写为

在传统微积分中，k是整数，我们现在要把它推广到分数。但Γ函数中的自变量只能取整数，譬如Γ(1/2)是没有意义的，为了让Γ函数在自变量为分数的情况下也有意义，我们需要先将它进行推广，让它在自变量为分数时也有意义。

如何推广呢?我们注意到Γ函数有个特点，即