一道初中题-求最大的三角形周长

在图中PQRS是个正方形， 边长为4， 点T和U在变QR和RS上。∠UPT=45°， 求三角形RUT的可能的最大周长。

解法1：初中解法，如图

将三角形PSU逆时针旋转90度， 这样PS落在了PQ上， S落到了V，

PV=PU， PT=PT

而∠VPT=∠VPQ ∠TPQ=∠UPS ∠TPQ=90°-∠UPT=45°

即∠UPT=∠VPT

因此三角形PUT全等于三角形PVT，

所以UT=VT

因此三角形UTR的周长为：

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR VQ) (RT TQ)

因为VQ=US , RT TQ=RQ=4， UR US=SR=4

所以：

UR RT UT

=UR RT VT

=UR RT (TQ VQ)

=(UR US) (RT TQ)

=SR RQ

=4 4

=8

所以三角形RUT的周长是个定值，其可能的最大值就是8.

解法2： 用高中的三角知识，

设∠SPU=θ，那么可以得知，QPT=90°-45°-θ=45°-θ

应为PS=PQ=4， 所以

SU=4tanθ

QT=4tan(45°-θ)

因此UR=4-4tanθ

TR=4-4tan(45°-θ)

在三角变换中：