一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
等腰梯形：有两条腰相等的梯形；直角梯形：有一个角是直角的梯形 。
一、从一底的两端，向另一底作垂线，构造矩形和三角形
例题1、如图，在梯形 ABCD 中 ，
例题1图
过点 A、D 分别作 AE⊥BC、DF⊥BC ，垂足为点 E、F ，则 AE = DF = h(h为梯形ABCD的高) 。
求证：S梯形ABCD = 1/2 （AD BC）· h
证明：
∵ S梯形ABCD = S△AEB S矩形AEFD S△DFC
S△AEB = 1/2 BE · h , S矩形AEFD = EF · h , S△DFC = 1/2 FC · h ;
∴ S梯形ABCD = 1/2 BE · h EF · h 1/2 FC · h
= 1/2 BE · h 1/2 ( AD EF) · h 1/2 FC · h
= 1/2 （AD BC）· h
二、平移一腰，将梯形分为一个平行四边形和一个三角形
例题2、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，AB = CD ，∠C = 60° ，AD = 15 ，BC = 49 ，求 CD 的长？
例题2图
解：过点 A 作 AE∥CD ，交 BC 于点 E ，则四边形 AECD 为平行四边形
∵ 四边形 AECD 为平行四边形
∴ AE = CD = AB ，∠AEB = ∠C = 60° , AD = EC
∴ △ABE 为等边三角形
∴ CD = BE = BC - EC = 49 - 15 = 34
三、延长梯形的两腰交于一点，构造三角形和梯形
例题3、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，∠B = 50°，∠C = 80° ，AD = 5 , BC = 8 ,求 CD 的长？
例题3图
解：延长 BA 和 CD 交于点 E ，在 △EBC 中
∵ ∠E ∠B ∠C = 180° （三角形内角和定理）
∴ ∠E = 180° - 50° - 80° = 50° = ∠B
∵ 在梯形 ABCD 中 ，AD∥BC
∴ ∠EAD = ∠B = ∠E
∴ △EAD 和 △EBC 都是等腰三角形
∴ ED = AD , EC = BC
∴ CD = EC - ED = BC - AD = 8 - 5 = 3
四、平移对角线，将梯形转化为三角形
例题4、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，AC = 15 , BD = 20 , 高 DH = 12 ，求梯形 ABCD 的面积 ？
例题4图
解：过点 D 作 DE∥AC ，交 BC 延长线于点 E ，则四边形 ACED 为平行四边形
∵ S△BAD = S△CAD = S△DCE （等底同高，高是 DH）
∴ S梯形ABCD = S△DBE
在 Rt△BHD 中 ，由勾股定理得：
BH^2 = BD^2 - DH^2 = 20^2 - 12^2 = 16 ^2；
所以 BH = 16
在 Rt△DHE 中 ，由勾股定理得：
EH^2 = DE^2 - DH^2 = 15^2 - 12^2 = 81；
所以 EH = 9
∴ S梯形ABCD = S△DBE = 1/2 × DH × BE =1/2 × 12 × 25 = 150
五、连接一个顶点与另一腰中点并延长交另一底的延长线于一点
例题5、如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，点 H 为 CD 的中点，AB = AD BC ；
求证：BH 平分∠ABC 。
例题5图
证明：
连接 AH 并延长交 BC 延长线于点 E
在 △AHD 和 △EHC 中
∵ AD∥BC ∴ ∠DAH = ∠E
∵ H 为 CD 的中点，∴ DH = CH
∵ ∠AHD = ∠EHC （对顶角相等）
∴ △AHD ≌ △EHC （AAS）
∴ AD = CE ，AH = EH
∵ AB = AD BC ， BE = BC CE
∴ AB = BE，即 △ABE 为等腰三角形
∴ BH 平分∠ABC （等腰三角形中三线合一）
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