一、引言
平面向量是数学中的重要概念，具有大小和方向两个基本要素。平面向量的加减运算和坐标表示是向量运算的基础，也是解决向量问题的关键。本文将详细解析“平面向量加减运算与坐标表示”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握向量的相关性质和应用。
二、平面向量的加减运算
- 向量加法：
- 定义：设有两个向量→a和→b，它们的和→a →b是这样一个向量，它以→a的起点为起点，以→b的终点为终点。
- 性质：向量加法满足交换律和结合律，即→a →b=→b →a，(→a →b) →c=→a (→b →c)。
- 几何意义：若将向量→a和→b的起点放在同一点，则向量和的起点为公共起点，终点为两向量终点的连线段上的另一点。
- 向量减法：
- 定义：设有两个向量→a和→b，它们的差→a-→b是这样一个向量，它以→a的起点为起点，以→b的起点为终点。
- 性质：向量减法不满足交换律，但满足结合律和反身性，即(→a-→b) →b=→a，(→a-→b)-→c=→a-(→b →c)。
- 几何意义：若将向量→a和-→b（与→b大小相等、方向相反的向量）的起点放在同一点，则向量差的起点为公共起点，终点为两向量终点的连线段上的另一点。
三、平面向量的坐标表示
- 坐标系的建立：在平面内选定两个互相垂直且有公共原点的数轴作为x轴和y轴，这样就建立了平面直角坐标系。
- 向量的坐标表示：对于平面内任意一点P，设其坐标为(x,y)，则向量→OP（O为坐标原点）的坐标表示为(x,y)。若点P沿x轴正方向移动dx个单位，沿y轴正方向移动dy个单位到达点Q(x dx,y dy)，则向量→PQ的坐标为(dx,dy)。
- 向量加减运算的坐标表示：设向量→a=(x₁,y₁)，向量→b=(x₂,y₂)，则：
- →a →b的坐标为(x₁ x₂,y₁ y₂)。
- →a-→b的坐标为(x₁-x₂,y₁-y₂)。
- 坐标运算的意义：通过坐标表示，我们可以将复杂的向量问题转化为简单的代数问题进行处理。同时，坐标运算也为向量的进一步应用提供了便利。
四、典型例题分析
- 例1：已知向量→a=(2,1)，向量→b=(1,-2)，求它们的和、差。
解：根据向量加减运算的坐标表示，有
→a →b=(2 1,1 (-2))=(3,-1)
→a-→b=(2-1,1-(-2))=(1,3)
2. 例2：已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(3,4)，C(5,6)，求BC边上的中线AD（D为BC中点）。
解：首先求出点B和点C的中点D的坐标，D((3 5)/2,(4 6)/2)=(4,5)。然后求出向量AD的坐标，AD=(4-1,5-2)=(3,3)。所以BC边上的中线AD的坐标为(3,3)。
五、总结与展望
通过本文的学习，同学们对“平面向量加减运算与坐标表示”这一知识点有了更深入的理解。掌握这一知识点对于提高数学素养和解决问题的能力具有重要意义。希望同学们在未来的学习中不断巩固和应用这一知识点，探索更多与之相关的有趣性质和应用实例。同时，也期待教育工作者和研究者们能够不断完善和拓展这一领域的教学内容和方法，为学生提供更加优质的教育资源和指导。在实际应用中，同学们可以结合具体问题选择合适的向量方法和工具进行求解和分析，培养自己的数学应用能力和创新思维。
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