關於第一宇宙速度的推導：

預備知識：

機械能守恆定律：封閉系統內機械能不變，機械能為動能與勢能之和。

動能：mv²/2

引力勢能：-Gm₁m₂/r

向心力大小：F=mv²/r

萬有引力大小：F=Gm₁m₂/r²

現假設一飛船以v₁的速度自地球表面發射，後於高度為h除繞地以v的速度飛行，設飛船質量為m，地球質量為M，地球半徑為R，則飛船初動能為：

mv₁²/2

末動能為：

mv²/2

系統初引力勢能為：

-GMm/R

末引力勢能為：

-GMm/(R h)

故由機械能守恆定律，得

E=(mv₁²/2)-(GMm/R)

=(mv²/2)-(GMm/(R h))

化簡上式，兩邊同乘2/m

v₁²-(2GM/R)=v²-(2GM/(R h))

移項

v₁²=v² (2GM/R)-(2GM/(R h))

化簡分式

v₁²=v² (2GMR 2GMh)/R(R h)

-2GMR/R(R h)

v₁²=v² 2GMh/R(R h) (1)

又因飛船欲繞地球做圓周運動，故其應保持的向心力為：

F=mv²/(R h)

而其向心力均由萬有引力提供，則

mv²/(R h)=GMm/(R h)²

化簡上式，兩側同乘(R h)/m得

v²=GM/(R h) (2)

代(2)入(1)得

v₁²=GM/(R h) 2GMh/R(R h)

化簡，得

v₁²=(RGM 2GMh)/R(R h)

提取公因式，得

v₁²=(GM/R²)(R 2h)R/(R h)

注意GM/R²=g，且高度h與地球半徑R比起微不足道，故R 2h，R h，都可以看做為R，故

v₁²=GM/R=Rg

即

v₁=(Rg)½

代入數據R≈6.37*10⁶，g≈9.8得

v₁≈7900(m/s)

關於第二宇宙速度的推導

這次設一飛船以v₂的速度飛出地球而最後飛離擺脫地球引力場控制，那麼我們照舊可以用(1)式這個結論，得：

v₂²=v² 2GMh/R(R h)

實質上就是把v₁改成v₂，而其v,G,M,R,h意義不變，我們設飛船飛到最後速度為零，即在他飛行到最遠距離時，得v₂²=2GMh/R(R h)

其中h指飛船飛行最遠距離，而想要讓飛船擺脫地球引力場，就要讓其最遠飛到無限遠的地方，也就是h=∞，那麽R h就約等於h，即

v₂²=2GMh/Rh

v₂²=2GM/R

故

v₂=(2GM/R)½

或是說

v₂=2½v₁

代入數據，得

v₂≈11200（m/s)

这樣一來我們就算出第一宇宙速度和第二宇宙速度了