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1.负数的奇次方是负数:(-1)=-1,(-1)³=-1,(-1)的五次方等于-1,等等;
2.负数的偶次方是正数:(-1)²=1,(-1)四次方等于1,(-1)的六次方等于1;等等;
3.单项式的序号:表示一个单项式在一列由单项式组成的数列中所处的位置,即是第几个单项式的数字,就是这个单项式的序号.
如:-x,x²,-x³,…… .中-x的序号是1;x²的序号是2,-x³的序号是3,…… .
这里我们把单项式规律探究中,表示第n个单项式的方法分两种情况,把一个单项式按系数的性质符号、系数的绝对值、所含字母及所含字母的指数分为四部分,分别说明如下:
第一类:正负交替,序号是奇数的项是负的,序号是偶数的项是正的
题目:
观察下列按某种规律排列的单项式:
按这列单项式中蕴含的规律,第n个单项式为________.
解析:
从系数的性质符号看,第1项是负数,第2项是正数,并且正负交替出现.
由“负数的奇次方是负数,负数的偶次方是正数”可以想到:如果用n表示这列单项式的序号,当n=1时,(-1)¹=-1,其性质符号为负,正好与第1项性质符号一致;
当n=2时,(-1)²=1,其性质符号为正,正好与第2项性质符号一致;
当n=3时,(-1)³=-1,其性质符号为负,正好与第3项性质符号一致;
……;
因此,第n项的性质符号可表示为(-1)n次方.
从系数的绝对值看,第1项系数的绝对值为2的一次方,第2项系数的绝对值为2的二次方,第3项系数的绝对值为2的三次方,……,因此,第n项系数的绝对值应为2的n次方;
从所含字母看,只含字母a,因此,第n项所含字母为a;
从所含字母的指数看,第1项指数为2,即(1 1);
第2项指数为3,即(2 1);
第3项指数为4,即(3 1);
……
因此,第n项所含字母的指数应为(n 1);
综上知,这列单项式中,第n个单项式为:
第二类:正负交替,序号是奇数的项是正的,序号是偶数的项是负的
题目:
观察下列单项式中蕴含的规律:
(1)请按这列单项式中蕴含的规律,猜想第n个单项式为________;
(2)第8个单项式是________.
解析:
从系数的性质符号看,第1项是正数,第2项是负数,并且正负交替出现.
由“负数的奇次方是负数,负数的偶次方是正数”可以想到:如果用n表示这列单项式的序号,当n=1时,(-1)¹﹢¹=1,其性质符号为正,正好与第1项性质符号一致;
当n=2时,(-1)²﹢¹=-1,其性质符号为负,正好与第2项性质符号一致;
当n=3时,(-1)³﹢¹=1,其性质符号为正,正好与第3项性质符号一致;
……;
因此,第n项的性质符号可表示为(-1)的(n 1)次方.
从系数的绝对值看,第1项系数的绝对值为1/3的一次方,第2项系数的绝对值为1/3的二次方,第3项系数的绝对值为1/3的三次方,……,因此,第n项系数的绝对值应为1/3的n次方;
从所含字母看,含有字母为x和字母a,因此,第n项所含字母也为x和a;
从所含字母的指数看,x的指数都是2;第1项中a的指数为1,第2项中a的指数为2,第3项中a的指数为3,因此,第n项中a的指数为n;
综上知,这列单项式中,第n个单项式为:
(2)求第8个单项式,就把n=8代入第n个单项式的表答式即可求得.
点拨:
1.正负交替,序号是奇数的项是负的,序号是偶数的项是正的,这种由单项式组成的数列,每一项系数的符号可用(-1)的n次方来表示;
2.正负交替,序号是奇数的项是正的,序号是偶数的项是负的,这种由单项式组成的数列,每一项系数的符号可用(-1)的(n 1)次方来表示.