乘方是求n个相同因数乘积的运算，其结果叫做幂，记作a^n。其中，a叫做底数，n叫做指数；a^n可读作“a的n的次方”，也可读作“a的n次幂”。
在有了乘方之后，运算顺序为“先乘方，再括号（先小括号，再中括号，最后大括号），接着乘除，最后加减”。当底数为0的时候，这个数（即0）的n（n>0）次方都是0，但n<=0(非正数)是无意义的；当底数为1的时候，这个数（即1）的n次方都是1。
- 同底数幂法则，当同底数幂相乘除的时候，原来的底数作底数，指数的和或差作指数，可记作如下：
a^m · a^n = a^(m n) 或 a^m ÷ a^n = a^(m－n) ， m、n均为自然数
- 正整数指数幂法则，可记作a^k = a*a*....*a（k个a），其中k∈N*（即k为正整数）
- 指数为0幂法则，可记作a^0 = 1 ，其中a≠0 ，k∈N*
- 负整数指数幂法则，可记作a^(-k) = 1/(a^k) ，其中a≠0,k∈N*
特别地，当指数为2的时候，即一个数的2次方被称为平方，记作a²；同理，一个数的3次方被称为立方，记作a³。
开方是指求一个数的n次方根的运算，记作n√a。其中，a叫做被开方数，n叫做根指数；n√a可读作a的开n次方。
如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根。当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根。习惯上，将2次方根叫做平方根，将3次方根叫做立方根。
- 平方根与算术平方根，如果x² = a（a >= 0），那么x叫做a的平方根；如果x² = a（a >= 0），并且x≥0，那么x叫做a的算术平方根。一个正数有2个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。一个正数的算术平方根只有一个，非负数的算术平方根一定是非负数。 a 有平方根的条件：a >= 0，因为正数、零、负数的平方都不是负数，故负数没有平方根和算术平方根。
- 立方根，如果x³ = a，那么x叫a的立方根，也称为三次方根。a 有立方根的条件：a 为全体实数，即正数、负数、零均可。
举一反三
从上述来看，乘方与开方，互为逆运算。其中，一个数的算术平方根其实等价于这个数的平方根的绝对值，一个数的平方根有两个值，且它们互为相反数。
下面举几个例子，如下：
- 求 2 的平方根，结果记作为 ±√2。
- 求 2 的算术平方根，结果记作为 √2，前面的“＋”号可以省略，即记作为 √2。
- 求 2 的立方根，结果记作为 ³√2。
- 求 -2 的平方根，无结果，因为负数没有平方根。
- 求 -2 的算术平方根，无结果，因为负数没有算术平方根。
- 求 -2 的立方根，结果记作为 -³√2。
- 求 (-2)² 的平方根，结果记作为 ±√(-2)² = ±2。请注意，先求根号里的平方运算，这里即为4，再算4的平方根，最终结果为±2。
- 求 (-2)² 的立方根，结果记作为 ³√(-2)² = ³√4。请注意，先求根号里的平方运算，这里即为4，再算4的立方根，最终结果为 ³√4。
- 求 -(-2)² 的立方根，结果记作为 ³√-(-2)² = - ³√4。请注意，先求根号里的平方运算，这里即为-4，再算-4的立方根，最终结果为 -³√4。
接着，简要讲讲平方根（含算术平方根）和立方根的化简（求部分数的开方）和化简的逆运算（求部分数的乘方）。例如，算术平方根√12，可化简为√(4*3) = 2√3；平方根±√12，可化简为±√(4*3) = ±2√3。同理，平方根±2√3，也可把 2 化入到根号里，相当于对 2做平方根的逆运算（即平方），±2√3 = ±√(2² *3) = ±√(4 * 3) = ±√12。
最后，说说比较数的大小，当两个数的运算符号一致则直接比较大小即可，例如√3 和 √2的大小，两个数的运算符号都是求平方根运算，所以只要比较根号里的数哪个大就好，即√3 大于 √2；否则要把两个数变为同一运算符号的数后，再比较大小。
- 比较√9 和 2√3的大小，先把 2√3改为√(2² * 3) = √(4 * 3) = √12，然后比较√12和√9的大小，显然√12大于√9，即2√3 > √9。
- 比较π和√9的大小，先把π改为√π² = √(3.1415926535...)² > √(3)² = √9，所以π>√9。
