撰文 | Patrick Honner

翻译 | C&C

审校 | 藏痴

如果你一直关注这个月的数学新闻，你就会知道35岁的数论家詹姆斯·梅纳德（James Maynard）获得了菲尔兹奖——数学家的最高荣誉。据新闻报道，梅纳德喜欢的数学问题“简单到足以向高中生解释，但却足以难倒数学家几个世纪”，其中一个简单的问题是：当你沿着数轴移动时，总会有靠在一起的质数吗？

你可能已经注意到数学家对质数很着迷。是什么吸引了他们？也许是因为质数体现了数学中一些最基本的结构和奥秘。质数描绘了乘法的世界，它允许我们用唯一的因式分解来分类每一个数字。但是，即使人类从乘法诞生之初就开始研究质数，我们仍然不确定质数会出现在哪里，它们的分布范围有多广，或者它们的距离有多近。就我们所知，质数的分布没有简单的规律。

我们对这些基本概念的迷恋导致了数百种不同类型质数的发明或发现：梅森质数(2^ⁿ-1形式的质数)，平衡质数 (两个相邻质数的平均值) ，索菲·日尔曼质数（p是质数同时2p 1也是质数），如此等等。

人们对这些特殊质数的兴趣源于对数字的研究和新发现的获得。“数位敏感质数 (digitally delicate primes) ”也是如此。最近，数位敏感质数产生了一些关于最基本问题的惊人结果：某些类型质数的出现频率到底有多少？

注意q不可能在上面的质数列表中，因为它比列表中所有的数都大。所以如果存在一个有限的质数列表，那么q就不是质数。但如果q不是质数，那么它一定能被除它和1以外的数整除。反过来，这意味着q一定能被列表中的某个质数整除，但由于q的构造方式，q除以链表上的任何数，余数都是1。显然q既不是质数也不能被任何质数整除，出现这样矛盾的原因是假设质数数量有限。因此，为了避免这个矛盾，实际上必须有无穷多个质数。

考虑到质数有无穷多个，你可能会认为所有种类的质数都很容易找到，但数学家接下来要学习的一件事是质数可以有多分散。一个被称为质数间隙的关于相邻质数之间间隔的简单结果，说明了一些令人惊讶的事情。

前10个质数——2、3、5、7、11、13、17、19、23和29——之中，你可以看到由一个或多个合数 (不是质数的数，如4、12或27) 组成的空隙。你可以通过计算其中合数的数目来测量这些间隙：例如，在2和3之间有一个尺寸为0的间隙，在3和5、5和7之间有一个尺寸为1的间隙，在7和11之间有一个尺寸为3的间隙，等等。这个列表中最大的间隙是23和29之间的5个合数——24、25、26、27和28。

现在让我们看看一个令人难以置信的结果：质数间隙可以是任意长的。这意味着存在相邻的质数，它们之间的距离是无穷远。也许同样令人难以置信的是，这个事实非常容易被证明。

我们上面已经有了一个长度为5的质数间隙。会有长度为6的吗？我们不必寻找质数表来找到这样的例子，我们可以自己构造一个。为此，我们将使用基本算术公式中使用的阶乘函数：根据定义，整数n的阶乘n!=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1，例如3!= 3×2×1=6和5!=5×4×3×2×1=120。

现在让我们来构造我们想要的质数间隙。考虑以下连续的数字序列：

7! 2， 7! 3， 7! 4， 7! 5， 7! 6， 7! 7

因为7!=7×6×5×4×3×2×1，我们序列中的第一个数字，7! 2可以被2整除，你可以通过分解看出:

7! 2=7×6×5×4×3×2×1 2=2(7×6×5×4×3×1 1).

同样，第二个数字，7! 3，能被3整除，因为 :

7! 3=7×6×5×4×3×2×1 3=3(7×6×5×4×2×1 1).

同样，7! 4能被4整除，7! 5能被5整除，7 ! 6能被6整除，还有7! 7 能被7整除，因此7! 2， 7! 3， 7! 4， 7! 5， 7! 6， 7! 7是六个连续的合数。我们的质数间隙至少是6。这种策略很容易概括。序列 n! 2， n! 3， n! 4， …， n! n是一个由n−1个连续合数组成的序列，这意味着，对于任何n，存在一个长度至少为n−1的质数间隙。

这表明存在着任意长的质数间隙，所以在自然数列表中，有一些地方离最近的质数相差了100个，1000个，甚至10亿个数字。

从这些结果中可以看出一种典型的矛盾。质数有无穷多个，而连续的质数也可以相距无穷远。更重要的是，有无限多个相邻的质数。大约10年前，张益唐的开创性工作引发了一场缩小间隙和证明孪生质数猜想的竞赛。孪生质数猜想断言，有无穷多对相差仅为2的质数。孪生质数猜想是数学中最著名的开放问题之一，詹姆斯·梅纳德（James Maynard）为证明这一难以捉摸的结果做出了自己的重大贡献。

这种矛盾也出现在最近关于所谓的数位敏感质数的研究结果中。为了了解这些数字是什么，以及它们可能出现的位置，请花点时间思考下面这个奇怪的问题：有没有一种两位数的质数，只要其中一位数有所变化，就一定会成为合数？

为了了解数位敏感，我们来试试数字23。我们知道它是个质数，但如果你改变它的个位数会怎样？20、22、24、26、28都是偶数，因此是合数；21能被3整除，25能被5整除，27能被9整除。到目前为止，一切顺利。但如果把个位换成9，得到29，仍然是质数。所以23不是我们要找的质数。

37呢？正如我们上面看到的，我们不需要检查偶数或以5结尾的数，所以我们只检查31、33和39。31也是质数，所以37也不行。

这样的数字存在吗？答案是肯定的，但我们必须一直算到97才能找到它：97是质数，但91 (能被7整除)、93 (能被3整除) 和99 (也能被3整除) 都是合数，除此之外就是偶数和95。

如果你把质数的任何一个数字换成其他数字，它就不再是质数，那么这个质数就是“敏感的”。到目前为止，我们看到97在个位数字上很敏感——因为改变那个数字总是产生合数——但是97满足数位敏感的全部标准吗？答案是否定的，因为如果把十位数字改成1，得到17，一个质数。(注意37、47和67也都是质数。)

事实上，没有两位数的数位敏感质数。下表列出了所有两位数的数字，其中质数被标记出来。