二、初高中六大核心素养解读

“数学抽象”与“符号意识”

下面图片里，左边是《高中课程标准》里一段关于数学抽象的描述，“数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的素养。”怎样理解？例如认识三角形，不管用红色笔画的，还是用钢丝围成的，或是木条组合的，都可以抛弃的物理属性，从而抽象出三角形是用首尾相接的三条线段，这是数学抽象的一种表现。

也包括从数量与数量关系，图形与图形关系当中抽象出数学概念，以及概念之间的关系。总的来说，就是从事物的具体背景当中，抽象出一般的规律和结构。

当然大家还可能产生这样的疑问：那推理也在里面，归纳不就是推理吗？其实包括其他的核心素养，都是“你中有我，我中有你。”只是我们在不同的环节、在不同的过程、不同的阶段里，可能更凸显某一素养。例如哥尼斯堡七桥问题，既有抽象的过程，把陆地变成一个点，把桥变成了线段，又有建模的过程。

数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。

对比符号意识（义务教育），主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

比如三角形的内角和、勾股定理、三角形全等条件的探索，实际上都是提出命题和模型的一种形式，里面蕴含了数学抽象。三角形内角和是让学生从小学开始通过看具体的三角形过渡到一般的三角形。几乎所有数学命题的得来，都需要学生经历一个抽象的过程。因此，数学抽象是学生非常重要的素养，其抽象的过程可能比结果更重要。

“逻辑推理”与“推理能力”

我将逻辑推理与推理能力进行了对比，特别强调一点，逻辑推理不等于演绎。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。

对应义务教育阶段，当中提到“推理一般包括合情推理和演绎推理”，虽用词不同，但主要含义基本一致。其实，合情推理借用了美国数学家波利亚所著的《数学与猜想》里的提法，书中对合情推理的解释比归纳、类比还要再宽泛一些。

在逻辑推理主要表现中，提到了发现问题和提出命题，而推理能力（义务教育）用的是探索思路，发现结论。现在的这种表述，其实在本质上也是一致的。其实逻辑推理指两大类，一类是演绎的，一类是非演绎的。

当然，他们都是发现问题和提出问题的重要手段，一般来说，演绎推理是确认结论，而发现问题和提出问题则指合情推理和归纳、类比。

“数学建模”与“模型思想”

模型思想（义务教育）会与高中的数学建模在外延上有些不一致。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。是非常综合的一种素养。

数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题。里面综合性地包含了抽象、推理、想象和直观等。且其主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题。明确“四能”的内容。

义务教育阶段，模型思想的范围就很窄了。其中提到用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律。主要指数与代数里面三个比较重要的模型——用数学符号建立方程、不等式和函数。

不过，在徐立志先生所著的《数学方法论》里提到数学模型有两大类，一类叫狭义的数学建模，一类叫广义的数学建模。

狭义的数学模型就是针对一个问题，进行建模。广义的数学建模指数学的概念、公式、方程以及函数，都是对一类事物的本质或内在数量关系的一种抽象。如自然数的概念——现实世界中具体事物的模型。还有很多问题都可以用一元二次方程、二元一次方程表达，因此从这个意义上讲，都属于广义的数学模型范畴。

可是在几何中，教师又该怎么理解模型呢？如果从广义的角度出发，“点”“直线”“射线”“角”都是数学概念，虽然学生对无限对象的理解有些难，但它们把现实世界中的事物抽象出来，所以属于几何里面的模型。

现在义务教育阶段关于模型思想的描述，更多局限在数量关系层面上，教师可以有更宽泛一点的理解。

“直观想象”与“几何直观与空间观念”

“直观想象”和“几何直观与空间观念”的理解，对初中教师来讲，既要瞻前，看小学的内容，又要顾后，了解高中的内容。直观想象是指借助几何直观和空间想象，感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形理解和解决数学问题的素养。其实，几何直观和空间想象是两件不一样的事，但出于一些其他因素的考虑，高中将其合二为一，直接叫“直观想象”。

义务教育阶段是两个词，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。例如学习代数里的公式，教师会让学生通过画图来帮助理解，其实就是用图表征公式。一方面对公式有了直观的理解；另一方面是发展学生意识和能力的途径。

高中直观想象主要表现为建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。数形结合和几何直观存在怎样的关系，数形结合可以从数到形，也有从形到数。

从数到形，是几何直观的一种，即把数的东西表达成形的内容。从形到数，不属于几何直观，则是用数的东西表达形。例如用图形说话，指从数到形。当然几何直观不仅仅把数的内容表达成形，还可以把其他事物的内在要素以及要素之间的关系进行表达。

比如几个人握手问题，通过分析问题当中的对象，以及对象之间的关系，表达成了一个图形。这也是很多研究者写论文都愿意用一张图来表示的原因，让读者可以更加清晰明白。

空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。

这些描述是空间观念外显的形式，课程里指在图形的变换过程中，去体现学生空间想象的能力和意识。比如二维变三维、位置上的变化、折叠等知识……既发展学生空间观念，也考察了学生空间观念的能力。