自然数有五条公理：

公理一：0是自然数。

公理二：任何一个自然数n的后继数也是自然数，用n 表示。

公理三：0不是任何自然数的后继数。

公理四：两个不同的自然数的后继数不同。

公理五：归纳原理，即假设性质P对0成立，且当对n也成立时，能推倒出对n 也成立，那么P对任意自然数都成立。

加法的运算定义：

一：任何一个自然数 n 加0 等于 n，即n 0 =n

二：n （m ）= (n m) 即自然数加上m的后继数，为（n m）的后继数。

证明a b = b a

首先，引入第三个自然数c，这样会方便理解。通过加法运算的定义，我们知道c 0 = c，那么0 c等于多少呢？这个到目前为止，根据五条公理和加法运算的定义，我们都不能推导出来，所以我们需要证明或者推导出 0 c = c。

那么用到公理五：

当c = 0 时，有0 c = 0 0 = 0=c，其中0 0 = 0时使用了加法运算的第一条定义。

那么当c不等于0时，假设 0 c = c，这时，我们就可以推导是c 的情况：

0 （c ）= （0 c） 加法运算的第二条定义。

（0 c） = c ，所以，0 c = c对c的后继数 c 也成立，那就是有了结论一

0 c = c

其次,引入第四个自然数 d，还是为了方便理解。通过加法运算第二条定义，我们知道 n （d ）=（n d） ，但是我们目前还不知道 (n ) d 等于多少？这个时候，又要用到公理五来证明推导 (n ) d = (n d)

当d =0时，有 (n ) d = (n ) 0 = n = （n 0） =(n d) ，这是通过加法运算的第一条定义推导得出。所以当d =0时，(n ) d = (n d) 成立。

当d 不等于 0时，假设(n ) d = (n d) ，那么，我们可以推导d 的情况：

(n ) (d )= [(n ) d] ,这是由加法运算的第二条定义得到的。

[(n ) d] = [(n d) ] , 这是通过假设(n ) d = (n d) 得到的。

同时，我们还知道通过加法运算的第二条定义，可以推出n (d )=(n d) ，所以

[(n d) ] = [n (d )]

所以，(n ) d = (n d) 对于d的后继数 d 也成立。那就有了结论二：

(n ) d = (n d)

最后，回过来看 a b = b a

通过结论一（0 c = c），我们可以知道：

当a = 0 时，a b = 0 b = b =b 0，所以a b=b a成立。

那么当a 不等于 0时，假设 a b=b a 成立，那么，我们可以推导a 的情况：

(a ) b = (a b) 这是由结论二（(n ) d = (n d) ）得到的。

(a b) = (b a) 这是由假设得到的。

(b a) = b (a ) 这是由加法定义二的逆运算得到的。

所以，a b=b a 对a的后继数 a 也成立。

那么我们就可以得到最后的结论 a b=b a 对于一切自然数都成立。

加法运算的交换律a b=b a得以证明。